Книга: Олейник О. А. «Лекции об уравнениях с частными производными»

Серия: "Классический университетский учебник"

В книге излагаются основные факты, относящиеся к уравнению Лапласа, уравнению теплопроводности и волновому уравнению как простейшим представителям трех основных классов уравнений с частными производными. Приводятся доказательство теоремы Ковалевской, смешанная задача для уравнения колебаний неоднородной струны, задача Коши для волнового уравнения и теория симметрических гиперболических систем. Первая глава содержит изложение некоторых сведений из анализа и теории обобщенных функций.
Для студентов университетов и других вузов, изучающих уравнения с частными производными.

Содержание:

Предисловие ко второму изданию...... 9 Из предисловия к первому изданию...... 10 Глава 1. Вспомогательные предложения...... 11 1. 1. Обозначения. Некоторые предложения из анализа...... 11 1. 2. Средние функции. Обобщенные производные...... 17 1. 3. Основные понятия и теоремы теории обобщенных функций...... 24 Глава 2. Классификация уравнений с частными производными...... 43 2. 1. Некоторые физические задачи, приводящие к уравнениям с частными производными...... 43 2. 2. Задача Коши. Характеристики. Классификация уравнений...... 52 Глава 3. Уравнение Лапласа...... 67 3. 1. Гармонические функции. Уравнение Пуассона. Формулы Грина...... 67 3. 2. Фундаментальное решение...... 70 3. 3. Представление решений с помощью потенциалов...... 72 3. 4. Основные краевые задачи...... 74 3. 5. Теоремы о среднем арифметическом. Принцип максимума...... 76 3. 6. Функция Грина. Решение задачи Дирихле для шара...... 82 3. 7. Единственность и непрерывная зависимость решений краевых задач от граничных условий...... 89 3. 8. Априорные оценки производных. Аналитичность...... 96 3. 9. Теоремы Лиувилля и Фрагмена—Линделёфа...... 102 3. 10. Изолированные особенности гармонических функций. Поведение в окрестности бесконечности. Задача Дирихле в неограниченной области...... 111 3. 11. О последовательностях гармонических функций. Обобщенное решение уравнения Лапласа. Лемма Вейля...... 119 3. 12. Ньютонов потенциал. Гипоэллиптичность оператора Лапласа...... 126 3. 13. Обобщенные решения задачи Дирихле...... 131 Глава 4. Уравнение теплопроводности...... 147 4. 1. Формулы Грина. Фундаментальное решение...... 147 4. 2. Представление решений с помощью потенциалов. Бесконечная дифференцируемость решений...... 154 4. 3. Постановки краевых задач и задачи Коши...... 156 4. 4. Принцип максимума в ограниченной и неограниченной областях...... 158 4. 5. Априорные оценки решений краевых задач и задачи Коши. Теоремы единственности. Стабилизация решений...... 165 4. 6. Оценки производных. Аналитичность решений по переменным x. Приложения...... 170 4. 7. Теорема Лиувилля. Теоремы об устранимой особенности. Компактность семейства решений...... 177 4. 8. Решение задачи Коши с помощью преобразования Фурье. Гладкость объемных тепловых потенциалов...... 186 4. 9. Обобщенные решения. Гипоэллиптичность оператора теплопроводности...... 194 Глава 5. Гиперболические уравнения и системы...... 199 5. 1. Волновое уравнение...... 199 5. 2. Смешанная задача для уравнения колебаний струны...... 215 5. 3. Задача Коши для гиперболических систем уравнений с частными производными...... 229 5. 4. Теорема Коши...... 229 5. 5. Теорема Ковалевской и ее обобщения...... 233 5. 6. Симметризуемые системы. Условие Годунова...... 239 5. 7. Решение задачи Коши для симметричной системы...... 241 5. 8. Обобщенное решение задачи Коши...... 255 Литература...... 259

Издательство: "БИНОМ. Лаборатория знаний" (2015)

ISBN: 9785996328352