Книга: Клейн Ф. «Неевклидова геометрия»

Клейн Ф.

Феликс Клейн
Дата рождения:	25 апреля, 1849
Место рождения:	Дюссельдорф, Германия
Дата смерти:	22 июня, 1925
Место смерти:	Гёттинген
Гражданство:	Германия
Научная сфера:	математик
Известен как:	Бутылка Клейна, Эрлангенская программа
Награды и премии	Медаль Моргана (1893) Copley medal (1912)

Феликс Клейн (нем. Felix Christian Klein; 1849—1925) — немецкий математик.

Содержание 1 Биография 2 Научная деятельность 3 Сочинения 3.1 Статьи 3.2 Лекции по общим вопросам 3.3 Лекции по геометрии 3.4 Лекции по алгебре и теории чисел 3.5 Лекции по теории функций 3.6 Лекции по механике 4 См. также 5 Примечания 6 Литература

Биография

Феликс Клейн родился в Дюссельдорфе, в семье чиновника. Закончил гимназию в Дюссельдорфе, потом учился математике и физике в Боннском университете. Вначале планировал стать физиком. В это время Юлиус Плюккер заведовал отделением математики и экспериментальной физики в Бонне, и Клейн стал его ассистентом. Однако главным интересом Плюккера была геометрия. Под его руководством Клейн стал доктором в 1868 году.

1868: Плюккер умер. Клейн совершает поездку по Германии, знакомится с Клебшем и другими крупными математиками. Особенное влияние на него оказал Софус Ли.

1870: в самое неудачное время (назревает франко-прусская война) вместе с Ли приезжает в Париж, где знакомится с Дарбу и Жорданом. После начала войны возвращается в Германию, где чуть не становится жертвой спутника войны — эпидемии тифа.

1872: профессор Эрлангенского университета, по рекомендации Клебша. Публикует знаменитую «Эрлангенскую программу» и сразу приобретает общеевропейскую известность.

1875: профессор Высшей технической школы в Мюнхене. Женится на Анне Гегель, внучке знаменитого философа.

1876: совместно с Адольфом Майером становится главным редактором журнала «Mathematische Annalen».

1880: переходит в Лейпцигский университет.

1882—1884: серьёзная болезнь по причине переутомления. Клейн переориентирует свою гигантскую энергию на педагогическую и общественную работу.

1888: профессор Гёттингенского университета. Ведёт яркие, глубокие и содержательные факультативные курсы по самым разнообразным предметам, от теории чисел до технической механики. Слушатели его курсов приезжали со всех концов мира.

В начале XX века Клейн принял активное участие в реформе школьного образования, автор и инициатор ряда исследований состояния дел с преподаванием математики в разных странах.

Клейн способствовал созданию при Гёттингенском университете системы научно-исследовательских институтов для прикладных исследований в самых разных технических областях. Участвовал в издании полного собрания сочинений Гаусса и первой Математической энциклопедии. Представлял Гёттингенский университет в парламенте. Надо отметить, что с началом Первой мировой войны Клейн не участвовал в многочисленных тогда шовинистических акциях.

1924: широко отмечается 75-летие Клейна. В следующем году те же газеты опубликовали его некролог.

Научная деятельность

К середине XIX века геометрия разделилась на множество плохо согласованных разделов: евклидова, сферическая, гиперболическая, проективная, аффинная, риманова, многомерная, комплексная и т. д.; на рубеже веков к ним добавились ещё псевдоевклидова геометрия и топология.

Клейну принадлежит идея алгебраической классификации различных отраслей геометрии в соответствии с теми классами преобразований, которые для этой геометрии несущественны. Более точно выражаясь, один раздел геометрии отличается от другого тем, что им соответствуют разные группы преобразований пространства, а объектами изучения выступают инварианты таких преобразований.

Например, классическая евклидова геометрия изучает свойства фигур и тел, сохраняющиеся при движениях без деформации; ей соответствует группа, содержащая вращения, переносы и их сочетания. Проективная геометрия может изучать конические сечения, но не имеет дела с кругами или углами, потому что круги и углы не сохраняются при проективных преобразованиях. Топология исследует инварианты произвольных непрерывных преобразований (кстати, Клейн отметил это ещё до того, как родилась топология). Изучая алгебраические свойства групп преобразований, мы можем открыть новые глубокие свойства соответствующей геометрии, а также проще доказать старые. Пример: медиана есть аффинный инвариант; если в равностороннем треугольнике медианы пересекаются в одной точке, то и в любом другом это будет верно, потому что любой треугольник можно аффинным преобразованием перевести в равносторонний и обратно.

Клейн высказал все эти идеи в выступлении 1872 года «Vergleichende Betrachtungen tiber neuere geometrische Forschungen» («Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований») ^[1], получившем название «Эрлангенской программы». Оно привлекло внимание математиков всей Европы тем, что не только давало новое представление и предмете геометрии, но и намечало ясную перспективу дальнейших исследований. На новом уровне повторилось открытие Декарта: алгебраизация геометрии позволила получить результаты, для старых инструментов крайне затруднительные или вовсе недостижимые. Влияние «Эрлангенской программы» на дальнейшее развитие геометрии было исключительно велико.

В последующие 3 года Клейн опубликовал более 20 работ по неевклидовой геометрии, теории групп Ли, теории многогранников и эллиптическим функциям. Одним из важнейших его достижений стало первое доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского; для этого он построил её интерпретацию в евклидовом пространстве (см. модель Клейна). Он построил пример односторонней поверхности — «бутылку Клейна».

Клейн напечатал ряд работ о решении уравнений 5-й, 6-й и 7-й степеней, об интегрировании дифференциальных уравнений, об абелевых функциях, о неэвклидовой геометрии. Его труды печатались главным образом в «Mathematische Annalen», редактором которых он с 1875 года был вместе с Адольфом Майером. Позже он исследовал автоморфные функции, теорию волчка.

Лекции Клейна пользовались большой популярностью, многие из них были неоднократно переизданы и переведены на множество языков. Он также опубликовал несколько монографий по анализу, сводящих воедино достигнутые на тот момент результаты.

Ещё при жизни Клейна вышел трёхтомник его Собрания сочинений.

Сочинения

Статьи

• Felix Klein, Gesammelte mathematische Abhandlungen, 3 Bde.
• Felix Klein, Vergleichende Betrachtungen über geometrische Forschungen, Erlanger Programm 1872

Лекции по общим вопросам

• Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии. (Нем.: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert)

• Том первый. М.-Л., ГОНТИ, 1937, 432 с.
• Том второй. М.-Ижевск, 2003, 239 с.

• Ф. Клейн., Элементарная математика с точки зрения высшей. (Нем.: Elementarmathematik vom höheren Standpunkt, 3 Bde.)

• Том первый. Арифметика. Алгебра. Анализ. М., Наука, 1987, 432 с.
• Том второй. Геометрия., М., Наука, 1987, 416 с.
• Том третий. Графики функций. Плоские кривые. (Не переведен?)

Лекции по геометрии

• Ф. Клейн. Высшая геометрия. М.-Л., ГОНТИ, 1939, 400 с (нем.: Vorlesungen über höhere Geometrie, mit Wolfgang Blaschke)
• Ф. Клейн. Неевклидова геометрия. М.-Л., ОНТИ, 1936, 356 с (нем.: Vorlesungen über Nichteuklidische Geometrie, mit Walther Rosemann)
• Felix Klein, Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie: eine Revision der Principien. Vorlesung, gehalten waehrend des Sommersemesters 1901

Лекции по алгебре и теории чисел

• Ф. Клейн. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. М., 1989, 336 с (Нем.: Vorlesungen über das Ikosaeder)
• Felix Klein, Ausgewaehlte Kapitel der Zahlentheorie

Лекции по теории функций

• Felix Klein, Лекции по геометрической теории функций. Геттинген, зимний семестр 1880/81

• Конспект: Einleitung in die geometrische Funktionentheorie.
• Издание: Felix Klein, Funktionentheorie in geometrischer Behandlungsweise. Leipzig: Teubner, 1987

• Felix Klein, Über Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen
• Felix Klein, Theorie der elliptischen Modulfunktionen, mit Robert Fricke.
• Felix Klein, Ausgewaehlte Kapitel aus der Theorie der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Bd. 1, Bd. 2
• Felix Klein, Ueber lineare differentialgleichungen der zweiten ordnung.
• Felix Klein Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion

Лекции по механике

• Ф. Клейн. Математическая теория волчка. М.-Ижевск, 2003, 69 с.
• Felix Klein, Arnold Sommerfeld. Ueber die Theorie des Kreisels. 1897—1910. Heft 1-2, Heft 3-4.

См. также

• Бутылка Клейна
• Группа Клейна
• Модель Клейна

Примечания

Литература

• Выгодский М. Я. Феликс Клейн и его историческая работа. См. в книге: Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Том I. М.-Л., ГОНТИ, 1937, 432 с.
• Гиндикин С. Феликс Клейн. «Квант», 1975, № 12.
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука.

• Том 1 Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. 1978.
• Том 2 Геометрия. Теория аналитических функций. 1981.

• Феликс Клейн на Math.ru.
• Яглом И. М. Феликс Клейн и Софус Ли. — М.: Знание, 1977.
• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Клейн, Феликс в архиве MacTutor
• Klein’s Web Pages.

Источник: Клейн Ф.