Книга: Николя Бурбаки «Очерки по истории математики»

Шарль Дени Бурбаки, французский генерал, фамилия которого была взята в качестве псевдонима

Николя́ Бурбаки́ (фр. Nicolas Bourbaki) — коллективный псевдоним группы французских математиков (позднее в неё вошли несколько иностранцев), созданной в 1935 году.

Целью группы является написание серии книг, отражающих современное состояние математики. Книги Бурбаки написаны в строгой аксиоматической манере и дают замкнутое изложение математики на основе теории множеств Цермело-Френкеля (в доработке Бернайса и Гёделя). На группу огромное влияние оказала немецкая математическая школа — Д. Гильберт, Г. Вейль, Дж. фон Нейман и особенно алгебраисты Э. Нётер, Э. Артин и Б. Л. ван дер Варден.

Состав группы

Основателями группы, участвовавшими в её первой встрече, являются:

• Анри Картан (Henri Cartan),
• Клод Шевалле (Claude Chevalley),
• Жан Кулон (Jean Coulomb),
• Жан Дельсарт (Jean Delsarte),
• Жан Дьёдонне (Jean Dieudonné),
• Шарль Эресманн (Charles Ehresmann),
• Рене де Поссель (René de Possel),
• Шолем Мандельбройт (Szolem Mandelbrojt),
• Андре Вейль (André Weil).

Кроме них, в первой встрече группы участвовали, но в дальнейшем не принимали участия в её работе, Жан Лере (Jean Leray) и Поль Дюбрейль (Paul Dubreil).

Кроме уже названных, в работе группы в разное время принимали участие многие выдающиеся математики:

• Лоран Шварц,
• Жан-Пьер Серр,
• Александр Гротендик
• Джон Тэйт
• Самуэль Эйленберг
• Серж Ленг
• Пьер Самюэль
• Арман Борель

и другие.

Точный состав и численность группы всегда сохранялись в секрете.

История группы

Группа Бурбаки официально называется Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki («Ассоциация сотрудников Николя Бурбаки»). Группа была образована выпускниками парижской Высшей нормальной школы (École Normale Supérieure) на базе этого же вуза. Так как происхождение или работа многих членов группы была связана с городом Нанси, то псевдонимом стала фамилия известного в этом городе генерала Шарля-Дени Бурбаки, в значительной степени из-за греческого происхождения последнего (намёк на древнегреческую математику, особенно на «Начала» Евклида — трактат самих «Бурбаки» носит название «Начала математики», хотя на русский язык это название обычно переводят как «Элементы математики» за исключением «Теории множеств»). Местом жительства Бурбаки был определен город «Нанкаго», то есть Нанси + Чикаго (в Чикаго работали в военное и послевоенное время многие участники группы).

Одним из условий членства в группе был возраст, не превышающий 50 лет. Можно было быть исключённым и раньше, если прочие участники считали, что исключаемый перестал быть творчески работающим математиком. Для этого существовала специальная процедура, носящая название «кокотизация». В основе этого лежит обычай одного из племён Полинезии определять дееспособность своих стареющих вождей — тот должен суметь залезть на пальму и сорвать кокосовый орех. У Бурбаки кокотизация заключалась в следующем: испытуемому описывают какое-нибудь очень сложно определяемое математическое понятие, причём само понятие крайне примитивное, например, число 0, множество целых чисел и т. д. Если испытуемый не сможет догадаться о чём речь, он считается кокотизированным и выбывает из группы, хотя может и участвовать в её организационных или коммерческих мероприятиях. Расцвет группы пришёлся на 1950—1960-е года. Влияние Бурбаки на мировую математику было огромным во Франции, большим в Бельгии, Швейцарии и Италии, довольно значительным в США, и менее значительным в Англии. В СССР к ним относились скорее скептически.

Кризис

Однако приближался кризис. Однажды появилось следующее сообщение в дадаистском стиле:

Это сообщение могло показаться просто шуткой, но между членами группы действительно начался разлад^[2], причём совпавший с кризисом всей академической науки во Франции, особенно усилившимся после Парижской весны 1968. Гротендик, один из величайших учёных XX века, ушёл из группы и вообще из активной математики, другие стали уделять коллективной работе меньше внимания. Книги «Элементов математики» стали выходить значительно реже, на «Семинаре Бурбаки» доклады стали делать учёные более низкого ранга. Последним опубликованным выпуском является^[3] глава 10 «Коммутативной алгебры», увидевшая свет в 1998. Также продолжается пересмотр уже изданных глав Трактата: 2011 годом датируется второе издание 8-й главы «Алгебры»^[3], включающее формализм групп Гротендика и Брауэра, теорему Гильберта о нулях^[4].

Книги Бурбаки

Имея целью создать полностью самодостаточную интерпретацию математики, основанную на теории множеств, группа публикует трактат Éléments de mathématique («Элементы математики» или, более точно, «Начала математики»). Трактат состоит из двух частей. Первая часть носит название Les structures fondamentales de l’analyse — «Основные структуры анализа» и содержит следующие работы (в скобках приведены оригинальные французские названия и их сокращенные обозначения):

I Теория множеств (Théorie des ensembles — E ) — вышло 4 главы и сводка результатов

II Алгебра (Algèbre — A ) — вышло 10 глав

III Топология (Topologie générale — TG ) — вышло 10 глав, сводка результатов и словарь

IV Функции действительного переменного (Fonctions d’une variable réelle — FVR ) — вышло 7 глав и словарь

V Топологические векторные пространства (Espaces vectoriels topologiques — EVT ) — вышло 5 глав, сводка результатов и словарь

VI Интегрирование (Intégration — INT ) — вышло 9 глав

Позже стали выходить книги второй части:

(без номера) Коммутативная алгебра (Algèbre commutative — AC ) — вышло 10 глав

(без номера) Дифференцируемые и аналитические многообразия (Variétés différentielles et analytiques — VAR ) — вышла только сводка результатов

(без номера) Группы и алгебры Ли (Groupes et algèbres de Lie — LIE ) — вышло 9 глав

(без номера) Спектральная теория (Théories spectrales — TS ) — вышло 2 главы

опасный поворот

В книгах Бурбаки были впервые введены символ для пустого множества Ø; символы для множеств натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел; термины инъекция, сюръекция и биекция; знак «опасный поворот» на полях книги, показывающий, что данное место в доказательстве может быть неправильно понято. Этот знак использует также известный теоретик-программист Д. Кнут.

Критика «бурбакизма»

В трактате все математические теории описываются на основании аксиоматической теории множеств в духе крайней абстракции. Например, определение обыкновенного натурального числа 1 в «Теории множеств» даётся следующим образом:

Причём, учитывая, что в этой записи уже сделаны сокращения (например, пустое множество ∅ определяется в языке теории множеств Бурбаки как ), мы получаем, что полная запись обыкновенной единицы состоит из десятков тысяч знаков. Такой уровень абстракции (причём в трактате, не посвящённом исключительно математической логике) не мог не вызвать нарекания.

Представители современной математики часто критикуют подход, представленный в книгах Бурбаки, ныне называемый «бурбакизмом», обвиняя его в излишней заформализованности и «истреблении духа математики». Действительно, участники группы, как правило, были сторонниками чистой математики. Большинство членов группы не уделяло достаточного внимания таким разделам математики, как дифференциальные уравнения, теория вероятностей, математическая физика, а также разделам прикладной математики, таких как численные методы или математическое программирование. В наибольшей степени это относится к их коллективному трактату.

Одним из наиболее заметных критиков бурбакизма в России являлся академик В. И. Арнольд. Так, в одной из своих статей Арнольд пишет:^[5] «…Действительно, для Бурбаки все общие понятия важнее их частных случаев, поэтому все нестрогие неравенства являются фундаментальными, а строгие — маловажными специальными случаями, примерами…». Однако точка зрения Арнольда не всегда бывает нейтральной и взвешенной: «…Вот почему бурбакистская мафия, заменяющая понимание науки формальными манипуляциями с непонятными „коммутативными“ объектами, так сильна во Франции, и вот что угрожает и нам в России».

Тем не менее, следует признать, что книги Бурбаки оказали значительное влияние на современную математику, и авторитет учёных, составлявших группу, бесспорно признаётся современным математическим сообществом.

Аналогичные группы математиков

• Артур Бессе — группа французских математиков, работающих в области дифференциальной геометрии и топологии;
• Бото фон Кверенбург — группа математиков Рурского университета, работавших в области топологии;
• Гокр — советские математики М. Г. Крейн и И. Ц. Гохберг, много работавшие в соавторстве в области функционального анализа;
• Джет Неструев — группа советских/российских математиков, сотрудников МГУ, работающих в области обоснования квантовой теории поля.

Примечания

Ссылки

• Официальная страница Ассоциации Бурбаки (фр.)
• А. Б. Сосинский Умер ли Никола Бурбаки? // Математическое Просвещение. — 1998. — № 2.
• С. С. Кутателадзе Апология Евклида // Владикавказский математический журнал. — 2006. — Т. 8. — № 2.