Книга: Лебедев Вячеслав Иванович «Функциональный анализ и вычислительная математика»

Вячеслав Иванович Лебедев
Дата рождения:	27 января 1930(1930-01-27)
Место рождения:	Кострома
Дата смерти:	22 марта 2010(2010-03-22) (80 лет)
Место смерти:	Москва
Страна:	Россия
Научная сфера:	математика
Место работы:	Курчатовский институт
Учёная степень:	Доктор наук
Учёное звание:	Профессор
Альма-матер:	МГУ
Научный руководитель:	Соболев, Сергей Львович
Известен как:	квадратура Лебедева, операторы Пуанкаре-Стеклова
Награды и премии	Государственная премия СССР, 1986

Вячеслав Иванович Лебедев (27 января 1930, Кострома — 22 марта 2010, Москва) — советский и российский математик.

Окончил механико-математический факультет МГУ. Доктор физико-математических наук, профессор. Лауреат Государственной премии СССР (1987), дважды лауреат Курчатовской премии (РНЦ «Курчатовский институт», 1984, 2000), Золотой медали им. П. Л. Чебышева РАН (2002). Главный научный сотрудник РНЦ "Курчатовский институт" и главный научный сотрудник Института вычислительной математики РАН. Заслуженный деятель науки РФ, ветеран труда, ветеран атомной энергетики и промышленности.

Окончил среднюю школу № 30 г. Костромы (1948), механико-математический факультет МГУ (1949-1954): учился на кафедре вычислительной математики, будучи сталинским стипендиатом; результаты его дипломной работы по получению и исследованию уравнений метода прямых повышенной точности для решения нестационарных задач математической физики, выполненной под руководством Н. П. Жидкова, вошли в один из первых учебников по вычислительной математики И. С. Березина и Н. П. Жидкова. Там же обучался в аспирантуре (1954—1957). Тема кандидатской диссертации (1957): "Метод сеток для одной системы уравнений" (научный руководитель С. Л. Соболев); были впервые предложены и разработаны методы оценок в негативных нормах решений сеточных задач, нашедшие в дальнейшем широкое применение при обосновании разностных схем, предложены смещенные сетки, на которых построены разностные аналоги основных операторов математической физики grad, div, rot, сохраняющие свойства и основные законы сохранения непрерывных операторов.

В 1957 г. по предложению С. Л. Соболева поступил на работу в Институт атомной энергии - ныне РНЦ "Курчатовский институт". Работает в нем до сих пор (основное место работы): занимал последовательно должности м.н.с., с.н.с., начальника математического сектора, начальника лаборатории математической физики реакторов, г.н.с. В. И. Лебедевым была создана первая двухгрупповая двумерная программа для расчёта регулирующих стержней, которая широко использовалась при проектировании реакторов ВВЭР. С тех пор до настоящее время продолжается плодотворное сотрудничество В. И. Лебедева с академиком Г. И. Марчуком. Им был развит для нахождения решений уравнения переноса нейтронов предложенный академиком В. С. Владимировым численный метод характеристик и получены разностные уравнения повышенной точности.

Для решения уравнений переноса им был построен и обоснован новый, лучший на мировом уровне итерационный метод - КР-метод, в котором после простой итерации (операции К) нулевой момент для поправки (операция Р) находится из решения P_n-уравнений метода сферических гармоник или в простейшем случае - уравнения диффузии (задач меньшей размерности). Для простейшего диффузионного случая им были разработаны методы оптимизации N циклических КР-методов с переменными множителями c_i =0.5(1 + x_i) при коэффициенте диффузии, основанных на асимптотических при больших N свойствах корней x_i многочленов Якоби вида P_N^{(aN,b)}(x), на модельных периодических задачах показана при больших n неулучшаемость по порядку затрачиваемых действий KP(n)-методов. Работы по итерационному КР-методу явились одними из первых работ, в которых для существенного уменьшения ошибки на каждом итерационном шаге использованы на операторном уровне алгоритмы ускорения итераций в сравнительно маломерных подпространствах. Этот цикл работ лег в основу докторской диссертации: "О нахождении решений кинетических задач теории переноса", защищенной в 1967 г.. За этот цикл работ по теории переноса нейтронов он был удостоен Государственной премии СССР 1987 года.

С 1969 года В. И. Лебедев преподает в МФТИ сначала на кафедре высшей математики, ведя занятия и читая курсы лекций по теории вероятности и уравнениям математической физики, где стал профессором в 1973 г., а затем на кафедре математического моделирования физических процессов, читая курс лекций "Функциональный анализ и вычислительная математика". С 2004 г. читает аналогичный курс лекций для студентов кафедры Вычислительных технологий и моделирования факультета ВМиК МГУ. С 1995 г. читает курс лекций "Методы оптимизации вычислений" для студентов ИНЕСНЭКа (Института естественных наук и экологии). С 1980 года В. И. Лебедев работает в Институте вычислительной математики РАН сначала на общественных началах, в дальнейшем в должности заведующего лаболаторией и главного научного сотрудника.

Ученое звание — профессор (1973). Член Московского математического общества (1957). Член редколлегии журнала Russian Journal of Numerical Mathematics and Mathematical Modelling, член Экспертного совета по математике и механике ВАК 4-х созывов. Член оргкомитетов международных научных конференций, член двух советов по защитам докторских диссертаций.

В. И. Лебедев — известный специалист в области вычислительной математики, приближенных методов решения задач математической физики, теории переноса излучения и частиц и реакторных задач. В указанных областях он выполнил обширный цикл исследований, некоторые из которых были сделаны совместно с сотрудниками. В. И. Лебедевым разработаны быстросходящиеся итерационные методы в задачах переноса частиц и чебышевские итерационные методы решения операторных уравнений; предложены кубатурные формулы типа Гаусса высоких порядков для сферы, предложены явные устойчивые методы решения жестких задач без ограничений на временные шаги. Им развита теория экстремальных многочленов, разработан метод %получения экстремальных многочленов, наименее отклоняющихся от нуля с весом; развита теория ЧМБС-многочленов (Чебышев-Марков-Бернштейн-Сеге) и их приложения для построения теории оптимальных алгоритмов в вычислительной математике. Известные результаты В. И. Лебедева связаны с интерполированием гауссовой квадратурной формулы, теорией итерационных методов, чебышевских фильтров.

Выполнил обширный цикл исследований по теории разностных методов для уравнений в частных производных. Им получены разностные уравнения для решения смешанных задач для уравнений типа Соболева, доказана сходимость и даны оценки для сеточных решений, получены оценки погрешности сеточных аппроксимаций в краевых задачах 1-3-го родов оператора Лапласа для квадратных и шестиугольных сеток, а также для полигармонического уравнения. Был обоснован метод сеток для симметричных сильно эллиптических систем дифференциальных уравнений 2m-го порядка, заданных в диыергентной форме, с кусочно непрерывными коэффициентами; методом ортогональных проекций доказана сильная сходимость в W_2^m сеточных решений. На сеточном уровне им предложен метод продолжения коэффициентов эллиптического уравнения из исходной области в объемлющую ее область стандартного типа, не ухудшающий обусловленность систем сеточных уравнений для стандартной области, и решение которых аппроксимирует решение исходной задачи.

В. И. Лебедевым получены фундаментальные результаты в области многомерных квадратурных формул гауссового типа. Для задачи численного интегрирования на сфере в R^3 им разработана теория и построен класс квадратурных формул типа Гаусса, инвариантных относительно группы октаэдра с инверсией и диэдра.Построение и применение инвариантных относительно этих групп многочленов специального вида позволило значительно cнизить порядок решаемой системы нелинейных уравнений и привести ее к блочно-треугольному виду. Были рассчитаны и опубликованы таблицы весов и узлов этих формул до 131-й наивысшей алгебраической степени точности.

В. И. Лебедев внес существенный вклад в развитие теории чебышевских итерационных методов. В его работах решена важная проблема устойчивости чебышевских одношаговых итерационных алгоритмов, которая в течение двадцати пяти лет не поддавалась решению, что сдерживало применение этих оптимальных методов. Построены новые классы итерационных методов чебышевского типа для решения задач с действительным и комплексным спектром, например бесконечно продолжаемые оптимальные устойчивые с использованием Т-последовательности параметров, основанные на применении принципа суперпозиции, а также чебышевские методы, учитывающие спектральную информацию о распределении ошибки, например комбинированные итерационные методы, в которых сначала применяется метод сопряженных градиентов, а потом чебышевский с весом метод; чебышевские итерационные методы для решения задач со спектром, лежащим на нескольких отрезках или в областях комплексной плоскости, ограниченных лемнискатами; чебышевские итерационные методы двухсторонних приближений с использованием функционала Темпля для решения частичных задач на собственные значения.

Цикл работ В. И. Лебедева посвящен актуальным проблемам параллельных алгоритмов крупноблочного распараллеливания решения задач математической физики. Им предложены и обоснованы методы разделения области (метод Шварца для областей без налегания), когда исходная задача заменяется суммой более простых задач с условиями согласования решений, и более общий, реализующий противоположный подход метод композиции, позволяющий составить новую корректно поставленную задачу из серии более простых, параллельно решаемых задач, заданных с помощью билинейных форм вариационными уравнениями. На этом пути удалось сформулировать для уравнений математической физики ряд новых нетрадиционных корректно поставленных задач.

Сформулированное совместно с В. И. Агошковым определение граничного оператора Пуанкаре-Стеклова, определяющего влияние решения частичной задачи на решения других частичных задач, стало общепринятым среди специалистов. Для упомянутых задач предложены и исследованы разного типа итерационные методы их решения. Эти работы были отмечены в АН СССР как "Лучшая математическая работа за 1989 год".

Рассматриваемые в едином комплексе три проблемы: методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений большого порядка, разностные или вариационные методы решения задач математической физики и методы распараллеливания алгоритмов для многопроцессорных ЭВМ побудили В. И. Лебедева к исследованиям эффективности явных разностных схем, которые в описанной ситуации допускают почти идеальное распараллеливание. Им были созданы явные двухслойные устойчивые разностные схемы с шагами, изменяющимися по времени по специальному алгоритму и изучены условия устойчивости оптимального алгоритма выбора шагов. В случае действительного спектра программная реализация алгоритма обеспечивала значительное увеличение среднего шага по сравнению с известными явными схемами. Им созданы двухслойные явные устойчивые разностные схемы 2-го и 3-го порядков точности, а также схемы для задач с комплексным спектром. Предложенный им метод и созданная им программа DUMKA оказались удобными при решении задач очень большой размерности, задач с нелинейными или несимметричными или незнакоопределенными операторами.

При наличии более точной информации о свойствах искомых решений задач вычислительной математики возникают новые постановки оптимизации методов решения их. Для реализации оптимальных методов решения ряда задач требовалась разработка эффективных алгоритмов нахождения экстремальных многочленов (ЭМ) P_n(x) степени n , наименее отклоняющихся от нуля в произведении с весом w(x) > 0 и подчиненных дополнительным условиям. Исследованию этих задач посвящен большой цикл работ В. И. Лебедева. Так, им еще в 1963 - 1969 годах были впервые найдены явные формулы для многочленов, наименее отклоняющихся от нуля на m отрезках (m больше двух, w(x) = 1), концы которых подчинены m-1 связям.

Цикл работ В. И. Лебедева был посвящен созданию нового эффективного метода определения параметров многочленов степени n , наименее отклоняющихся от нуля на отрезке [-1,1] с весом w(x) > 0 и подчиненных дополнительным условиям. Оригинальность предложенного Лебедевым метода заключается в итерационном определении фазовой функции. Итерационный метод основан на итерировании не коэффициентов ЭМ, а фазовой функции, поправки к которой находятся использованием асимптотических формул Бернштейна. Сходимость итераций в основном внутреннем цикле (при фиксированном весе) оценивается в нем величиной O(n-1).

Получил новые формулы для корней кубического уравнения с действительными коэффициентами y(x) = 0, где y(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d. Оказалось, существуют такие линейные замены переменных y, x, что кубическое уравнение преобразуется в эквивалентное вида T_3(z) = 0, которое легко решается.

Изучая работы Золотарева, В. И. Лебедев установил, что параметры, дающие решение задачи IV для дробно-рациональных функций, определяют оптимальные параметры в методе переменных направлений, что применяя их в методе Кранка-Никольсон с переменными шагами по времени, можно существенно улучшить устойчивость этого метода. Используя не получившие Золоторевым применения многочлены 1-го и 2-го типов и 1-го и 2-го рода сформулировал десяток новых экстремальных задач со связями, в частности задачу об аппроксимации с третьим порядком экспоненты устойчивым многочленом для явных методов.

Для применения трехчленных итерационных методов при решении задач со спектром, лежащим на нескольких отрезках, В. И. Лебедевым была развита теория многочленов Геронимуса. Была найдена тригонометрическая форма этих многочленов, и весовые функции, в произведении с которыми они имеют чебышевский альтернанс, обнаружены случаи знакопеременного веса в их ортогональности. Найдены решения обратных задач: по заданным специального вида нескольким отрезкам определить параметры трехчленных рекуррентных соотношений для многочленов. В. И. Лебедевым была развита аналитическая теория экстремальных ЧМБС-многочленов, заложенная в трудах Чебышева, Маркова, Бернштейна, Сегё. Дана единая формула их представления в тригонометрическом виде. Получены оптимальные распределения узлов взвешенной интерполяции, явные квадратурные формулы типа Гаусса, Маркова, Лобатто, Радо для интегралов с весом p(x)=w^2(x)(1-x^2)^{-1/2}. Определены параметры чебышевских итерационных методов, оптимально уменьшающих ошибку по сравнению с начальной ошибкой, заданных в различных нормах. Для каждого уровня метода Федоренко-Бахвалова найдены итерационные параметры, учитывающие результаты предыдущих вычислений. Построены чебышевские с весом фильтры. Исследованы итерационные методы решения уравнений с компактными операторами.

Публикации

• В. И. Лебедев, В. И. Агошков. Операторы Пуанкаре-Стеклова и их приложения в анализе. АН СССР, Инст. Выч. Мат., 1983, 184 стр.
• Г. И. Марчук, В. И. Лебедев. Численные методы теории переноса нейтронов — М., Атомиздат, 2-е изд., 1981
• V. I. Lebedev. An introduction to functional analysis and computational mathematics — Boston, Birkhauser, 1996
• Функциональный анализ и вычислительная математика — М., Физматлит, 4-е изд., 2005

Ссылки

• Лебедев Вячеслав Иванович на сайте ВМК МГУ
• Доклад В. И. Лебедева «О работе С. Л. Соболева в Институте атомной энергии им. И. В. Курчатова» (видео)