Книга: Плис А. И., Шикин Е. В. «Кривые и поверхности на экране компьютера»

Книга знакомит читателя со сплайнами - эффективным инструментом геометрического моделирования при проектировании гладких кривых и поверхностей. В ней описаны наиболее часто встречающиеся в задачах компьютерной графики одномерные кубические и двухмерные бикубические интерполяционные и сглаживающие сплайны. Приведенные в книге программы могут быть использованы при решении широкого класса задач визуализации.
Книгу можно рассматривать как справочное и практическое руководство, рассчитанное на студентов технических вузов и инженеров.

Содержание:

ПРЕДИСЛОВИЕ...... 3 О структуре пособия...... 4 Несколько общих советов пользователю...... 4 Почему сплайны?...... 7 ЧАСТЬ I. СПЛАЙН-ФУНКЦИИ...... 11 ГЛАВА 1. СПЛАЙН-ФУНКЦИИОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ...... 12 1. 1 Интерполяционные кубические сплайны...... 13 1. 1. 1. Постановка задачи интерполяции...... 13 1. 1. 2. Определение интерполяционного кубического сплайна...... 14 1. 1. 3. Граничные (краевые) условия...... 15 1. 1. 4. Построение интерполяционного кубического сплайна...... 16 1. 1. 5. Советы пользователю...... 18 А. Выбор граничных (краевых) условий...... 18 Б. Выбор узлов интерполяции...... 19 1. 1. 6. Выбор интерполяционной функции (плюсы и минусы)...... 20 A. Интерполяционный многочлен Лагранжа...... 20 Б. Кусочно-линейная интерполяция...... 22 B. Сплайн-интерполяция...... 23 1. 1. 7. Свойства интерполяционного кубического сплайна...... 25 A. Аппроксимационные свойства кубического сплайна...... 25 Б. Экстремальное свойство кубического сплайна...... 25 B. Построение интерполяционных онлайновых кривых при помощи сплайн-функций...... 26 1. 1. 8. Программная реализация...... 28 1. 2. Сглаживающие кубические сплайны...... 36 1. 2. 1. О постановке задачи сглаживания...... 36 1. 2. 2. Определение сглаживающего кубического сплайна...... 37 1. 2. 3. Граничные (краевые) условия...... 37 1. 2. 4. Построение сглаживающего кубического сплайна...... 38 1. 2. 5. Выбор весовых коэффициентов...... 41 1. 2. 6. Построение сглаживающих сплайновых кривых при помощи сплайн-функций...... 42 1. 2. 7. Программная реализация...... 43 1. 3. Другие сплайны...... 50 1. 3. 1. Линейное пространство кубических сплайн-функций...... 50 1. 3. 2. Кубические Б-сплайны...... 50 ГЛАВА 2. СПЛАЙН-ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ...... 53 2. 1. Интерполяционные бикубические сплайны...... 56 2. 1. 1. Постановка задачи интерполяции...... 56 2. 1. 2. Определение интерполяционного бикубического сплайна...... 56 2. 1. 3. Граничные (краевые) условия...... 57 2. 1. 4. Построение интерполяционного бикубического сплайна...... 59 2. 1. 5. Свойства интерполяционного бикубического сплайна...... 62 А. Аппроксимационное свойство...... 62 Б. Экстремальное свойство...... 63 2. 1. 6. Построение сплайновых поверхностей при помощи сплайн-функций...... 65 2. 1. 7. Программная реализация...... 66 2. 2. Сглаживающие бикубические сплайны...... 75 2. 2. 1. О постановке задачи сглаживания...... 75 2. 2. 2. Определение сглаживающего бикубического сплайна...... 75 2. 2. 3. Граничные (краевые) условия...... 76 2. 2. 4. Построение сглаживающего бикубического сплайна...... 78 2. 2. 5. Построение сплайновых поверхностей при помощи сплайн-функций...... 79 2. 2. 6. Программная реализация...... 81 ЧАСТЬ II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ...... 89 ГЛАВА 3. СПЛАЙНОВЫЕ КРИВЫЕ...... 90 3. 1. Элементарные сведения из дифференциальной геометрии кривых...... 93 3. 1. 1. Параметризованные кривые...... 93 3. 1. 2. Гладкие и регулярные кривые...... 93 3. 1. 3. Замена параметра...... 94 3. 1. 4. Трехгранник Френе...... 95 3. 1. 5. Кривизна и кручение кривой...... 96 3. 1. 6. Плоские кривые...... 97 А. Параметрическое задание...... 97 Б. Неявное задание...... 98 3. 1. 7. Составные кривые...... 98 3. 1. 8. Геометрическая непрерывность...... 102 3. 2. Кривые Безье...... 104 3. 2. 1. Параметрические уравнения кривой Безье...... 104 3. 2. 2. Свойства кривых Безье...... 105 3. 2. 3. Составные кривые Безье...... 107 3. 2. 4. Рациональные кривые Безье...... 110 3. 2. 5. Программная реализация алгоритма...... 113 3. 3. В-сплайновые кривые...... 115 3. 3. 1. Параметрические уравнения элементарной кубической В-сплайновой кривой...... 115 3. 3. 2. Составные кубические В-сплайновые кривые...... 116 3. 3. 3. Кратные и воображаемые вершины...... 119 A. Двойные вершины...... 120 Б. Тройные вершины...... 120 B. Воображаемые вершины...... 121 3. 3. 4. Рациональные кубические В-сплайновые кривые...... 123 3. 3. 5. Форма Безье составных кубических В-сплайновых кривых...... 125 3. 3. 6. Программная реализация алгоритма...... 126 3. 4. Бета-сплайновые кривые...... 130 3. 4. 1. Параметрические уравнения элементарной Бета-сплайновой кривой...... 130 3. 4. 2. Составные Бета-сплайновые кривые...... 132 3. 4. 3. Кратные и воображаемые вершины...... 135 A. Двойные вершины...... 135 Б. Тройные вершины...... 136 B. Воображаемые вершины...... 136 3. 4. 4. Программная реализация алгоритма...... 137 3. 5. Другие сплайновые кривые...... 140 3. 5. 1. Интерполяционные кубические кривые Эрмита...... 140 Программная реализация...... 144 3. 5. 2. Сплайновые кривые Catmull-Rom...... 146 Программная реализация...... 148 3. 5. 3. Составные плоские кубические кривые, заданные в неявной форме...... 150 ГЛАВА 4. СПЛАЙНОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ...... 152 4. 1. Элементарные сведения из геометрии поверхностей...... 156 4. 1. 1. Параметризованные поверхности...... 156 4. 1. 2. Гладкие и регулярные поверхности...... 157 4. 1. 3. Первая квадратичная форма поверхности...... 157 4. 1. 4. Кривая на поверхности...... 158 4. 1. 5. Угол между кривыми на поверхности...... 158 4. 1. 6. Площадь поверхности...... 159 4. 1. 7. Вторая квадратичная форма поверхности...... 159 4. 1. 8. Линии кривизны...... 159 4. 1. 9. Гауссова и средняя кривизны...... 160 4. 1. 10. Геометрическая непрерывность...... 160 4. 1. 11. Вектор скручивания и билинейная поверхность...... 163 4. 2. Поверхности Безье...... 165 4. 2. 1. Параметрические уравнения поверхности Безье...... 165 4. 2. 2. Свойства элементарных поверхностей Безье...... 166 4. 2. 3. Составные поверхности Безье...... 169 4. 2. 4. Рациональные поверхности Безье...... 170 4. 2. 5. Программная реализация...... 173 4. 3. В-сплай новые поверхности...... 176 4. 3. 1. Параметрические уравнения элементарной бикубической Б-сплайновой поверхности...... 176 4. 3. 2. Свойства элементарных бикубических В-сплайновых поверхностей...... 177 4. 3. 3. Составные бикубические Б-сплайновые поверхности...... 178 4. 3. 4. Кратные и воображаемые вершины...... 181 A. Двойные вершины...... 181 Б. Тройные вершины...... 183 B. Воображаемые вершины...... 185 4. 3. 5. Рациональные бикубические Б-сплайновые поверхности...... 186 4. 3. 6. Программная реализация...... 187 4. 4. В-сплайновые поверхности...... 191 4. 4. 1. Параметрические уравнения элементарной Бета-сплайновой поверхности...... 191 4. 4. 2. Свойства элементарных Бета-сплайновых поверхностей...... 93 4. 4. 3. Составные Бета-сплайновая поверхности...... 194 4. 4. 4. Кратные и воображаемые вершины...... 196 A. Двойные вершины...... 197 Б. Тройные вершины...... 198 B. Воображаемые вершины...... 199 4. 4. 5. Программная реализация...... 201 4. 5. Другие сплайновые поверхности...... 204 4. 5. 1. Интерполяционные бикубические поверхности Эрмита...... 204 4. 5. 2. Программная реализация...... 210 4. 5. 3. Составные неявно заданные кубические поверхности...... 216 ПРИЛОЖЕНИЯ...... 217 Приложение А. Программы метода прогонки для трёх- и пятидиагональных матриц...... 218 Приложение Б. Библиотеки текстов на языке С...... 221 Приложение В. Описание дискеты...... 225 ЛИТЕРАТУРА...... 232

Издательство: "Диалог-МИФИ" (1996)

ISBN: 5864040800