Книга: Алгазин С. Д. «Численные алгоритмы классической математической физики»

В книге рассматривается новый подход к конструированию алгоритмов математической физики. Кроме спектральных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнения Лапласа (три краевых задачи) и бигармонического уравнения (две краевые задачи), рассматривается флаттер пластин и пологих оболочек, нестационарные задачи и уравнения Навье–Стокса.
Для двумерных задач громоздкие вычисления затабулированы в таблицах небольшого объёма, что позволяет разработать компактные алгоритмы решения поставленных задач. Приводятся программы на фортране.
Книга представляет интерес для студентов и аспирантов физико-технических и математических специальностей, специалистов по численным методам, а также для научных сотрудников и инженеров, интересующихся новыми методами численного решения задач математической физики.

Содержание:

Предисловие...... 3 Введение...... 4 Литература...... 6 Глава 1. Формальное описание алгоритмов и оценка погрешности...... 7 1. 1. Формализация...... 7 Теорема 1...... 7 1. 2. Теоремы локализации...... 8 Теорема 2...... 8 Теорема 3...... 10 1. 3. Априорная оценка погрешности в задачах на собственные значения...... 11 Теорема 4...... 11 1. 4. Апостериорная оценка погрешности в задачах на собственные значения...... 13 1. 5. Обобщения для пучка операторов...... 14 Теорема 5...... 14 Теорема 6...... 15 Литература...... 15 Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения...... 16 2. 1. Введение...... 16 2. 2. Дискретизация классических спектральных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений...... 18 2. 3. Экспериментальное исследование скорости сходимости...... 26 2. 4. Вычисление с высокой точностью собственных значений для уравнения Бесселя...... 26 Литература...... 28 Глава 3. Гармоническая проблема...... 30 3. 1. Введение...... 30 3. 2. Интерполяционная формула для функции двух переменных в круге и ее свойства...... 30 Теорема 7...... 32 3. 3. Дискретизация оператора Лапласа...... 33 3. 4. Теоремы об h-матрице...... 34 Теорема 8...... 34 Теорема 9...... 35 3. 5. Построение клеток h-матрицы с использованием дискретизации уравнений Бесселя...... 37 3. 6. Описание численных экспериментов...... 39 3. 7. Быстрое умножение h-матрицы на вектор с использованием быстрого преобразования Фурье...... 41 3. 8. Симметризация h-матрицы...... 42 Теорема 10...... 42 3. 9. Пример оценки погрешности для задачи Дирихле...... 44 3. 10. Смешанная задача...... 44 3. 11. Задача Неймана...... 49 3. 12. Высокоточные вычисления собственных значений задачи Дирихле...... 52 3. 12. 1. Примеры численных расчетов...... 53 3. 12. 2. Обсуждение полученных результатов...... 54 3. 12. 3. Применение регулярной теории возмущений...... 54 3. 13. О вычислении собственных значений оператора Лапласа в двусвязной области...... 56 3. 13. 1. Постановка задачи и дискретизация...... 57 3. 13. 2. Результаты численных расчетов...... 58 Литература...... 59 Глава 4. Бигармоническая проблема...... 60 4. 1. Постановка задачи и дискретизация...... 60 4. 2. Вычисление матрицы конечномерной задачи...... 63 4. 3. Исследование структуры конечномерной задачи...... 63 4. 4. Численное решение основной бигармонической проблемы...... 64 4. 4. 1. Вторая краевая задача плоской теории упругости...... 66 4. 4. 2. Результаты расчетов...... 67 4. 4. 3. Выводы...... 68 4. 5. Примеры численных расчетов...... 68 4. 5. 1. Описание дальнейших вычислительных экспериментов...... 70 4. 5. 2. Продолжение численных экспериментов...... 72 4. 6. Колебания пластины переменной толщины со сводными краями произвольной формы в плане...... 73 4. 6. 1. Вывод уравнения поперечных колебаний упругой изотропной пластины переменной толщины и граничных условий...... 73 4. 6. 2. Дискретизация...... 75 4. 6. 3. Методические эксперименты...... 78 4. 6. 4. Сравнение с результатами работы "Круги в песке: методы для воспроизведения фигур Хладни" (Circles in the sand: methods for reproducing Chladni’s figures)...... 81 4. 6. 5. Сравнение с результатами работы [7]...... 81 4. 6. 6. Сравнение с результатами работы [8]...... 83 4. 6. 7. Сравнение с результатами работы [4]...... 85 4. 6. 8. Сравнение с результатами работы [15]...... 86 4. 6. 9. Выводы...... 86 Литература...... 86 Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек...... 88 5. 1. О постановке задачи панельного флаттера с использованием теории плоских сечений А. А. Ильюшина...... 88 5. 2. Флаттер пластины...... 90 5. 2. 1. Флаттер пластины произвольной формы в плане...... 91 5. 2. 2. Дискретизация...... 93 5. 2. 3. Численное исследование спектральной задачи...... 97 5. 2. 4. Результаты численных расчетов...... 99 5. 2. 5. Исследование зависимости критической скорости флаттера от толщины пластины...... 103 5. 3. Флаттер прямоугольной пластины...... 105 5. 3. 1 Постановка задачи...... 105 5. 3. 2 Дискретизация...... 106 5. 3. 3. Результаты численных расчетов...... 109 5. 3. 4. Метод Бубнова – Галеркина (Б.-Г.)...... 112 5. 3. 5 Сравнение с результатами А. А. Мовчана...... 114 5. 3. 6. Исследование зависимости критической скорости флаттера от толщины пластины...... 115 5. 3. 7. Исследование зависимости критической скорости флаттера от высоты над уровнем моря...... 115 5. 4. Флаттер пологих оболочек...... 116 5. 4. 1. Флаттер круговой в плане пологой сферической оболочки...... 117 5. 4. 2. Постановка задачи и численный алгоритм...... 117 5. 4. 3. Вычислительные эксперименты...... 118 5. 4. 4. Выводы...... 121 5. 4. 5. Численное исследование флаттера пологой оболочки...... 121 5. 4. 6. Постановка задачи...... 122 5. 4. 7. Дискретизация...... 123 5. 4. 8. Результаты численных расчетов...... 125 5. 4. 9. Выводы...... 128 Литература...... 128 Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными...... 130 6. 1. Уравнения общего вида с разделяющимися переменными...... 130 6. 2. Дальнейшие обобщения...... 131 6. 3. Дискретизация оператора Лапласа и быстрое решение уравнения Пуассона в торе...... 133 6. 3. 1. Постановка задачи и дискретизация...... 133 6. 3. 2. Быстрое решение дискретного уравнения Пуассона...... 135 6. 3. 3. Заключение...... 135 6. 4. Дискретизация оператора Лапласа и быстрое решение уравнения Пуассона для внешности тела вращения...... 136 6. 5. Численное исследование задачи об обтекании под углом атаки тела вращения потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости...... 139 6. 6. Численное исследование уравнений Стокса...... 144 6. 6. 1. Постановка задачи и выбор системы координат...... 144 6. 6. 2. Дискретный лапласиан и дискретные уравнения Стокса...... 146 6. 6. 3. Определение давления...... 149 6. 6. 4. Результаты численных экспериментов...... 150 6. 7. Об уравнении Пуассона в цилиндре...... 153 6. 7. 1. Введение...... 153 6. 7. 2. Постановка задачи и дискретизация...... 154 6. 7. 3. Исследование структуры конечномерной задачи...... 156 6. 7. 4. Обсуждение методики и численный пример...... 158 6. 8. О прогнозировании динамики ядерного реактора...... 159 6. 8. 1. Математическая постановка задачи...... 160 6. 8. 2. Дискретизация лапласиана...... 161 6. 8. 3. Дискретизация по пространственным переменным и оценка погрешности...... 162 Литература...... 164 Глава 7. Нестационарные задачи...... 165 7. 1. Постановка задачи...... 165 7. 1. 1. Дискретизация...... 165 7. 1. 2. Численный пример...... 166 7. 2. Численное исследование однофазной фильтрации газа в пористой среде...... 167 7. 2. 1. Постановка задачи фильтрации газа в пористой среде...... 167 7. 2. 2. Дискретизация по пространственным переменным...... 170 7. 2. 3. Дискретизация по времени...... 172 7. 2. 4. Моделирование скважин (точечных источников)...... 174 7. 2. 5. Вычислительные эксперименты...... 175 Литература...... 176 Глава 8. Уравнения Навье – Стокса...... 179 8. 1. Введение...... 179 8. 2. Постановка задачи...... 182 8. 3. Дискретный лапласиан...... 185 8. 4. Результаты расчетов для уравнений Стокса...... 186 8. 5. Результаты расчетов для уравнений Навье – Стокса...... 187 8. 6. Прямое решение полностью нелинейных уравнений Навье – Стокса...... 188 8. 7. Выводы...... 188 Литература...... 188 Заключение...... 190 Список работ Владимира Никитича Белых (Belykh V. N.)...... 190 Приложения...... 193 П 1. Стандартные программы на фортране и формулы для программирования...... 193 П 1. 1. Уравнение Бесселя...... 193 П 1. 2. Задача Штурма – Лиувилля...... 194 П. 2. Вычисление собственных значений оператора Лапласа...... 198 П. 2. 1. Интерполяционная формула для функции 2 переменных в круге...... 198 П. 2. 2. Вычисление собственных чисел и собственных функций оператора Лапласа...... 201 П. 2. 3. Задача Дирихле...... 206 П. 2. 4. Смешанная задача...... 209 Подпрограмма IKJ0...... 211 П. 2. 5. Задача Неймана...... 214 Подпрограмма LDUDN...... 216 П. 3. Вычисление собственных значений бигармонического оператора...... 217 П. 3. 1. Первая краевая задача...... 222 П. 3. 2. Вторая краевая задача...... 226 Работы автора...... 228

Издательство: "Диалог-МИФИ" (2010)

ISBN: 9785864042359