Книга: Золотарева Н. Д., Попов Ю. А., Сазонов В. В., Семендяева Н. Л., Федотов М. В. «Алгебра»

Серия: "ВМК МГУ — школе"

Настоящее пособие составлено преподавателями факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ и задач единого государственного экзамена. Пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач.
Рекомендуется абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и в другие вузы, при подготовке к сдаче единого государственного экзамена, а также учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.

Содержание:

От редактора...... 6 Предисловие...... 7 Часть I: Теория и задачи...... 9 1. Элементы теории чисел...... 9 1. 1. Целые числа. Делимость и остатки...... 9 1. 2. Уравнения в целых числах...... 11 1. 3. Смешанные задачи на целые числа...... 14 1. 4. Рациональные и иррациональные числа...... 17 1. 5. Сравнение чисел...... 19 2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции...... 23 2. 1. Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями...... 23 2. 2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями...... 27 2. 3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства...... 30 2. 4. Смешанные задачи...... 33 3. Полезные преобразования и замены переменных...... 34 3. 1. Использование формул сокращённого умножения, выделение полного квадрата...... 34 3. 2. Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах...... 39 3. 3. Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах...... 42 3. 4. Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях, неравенствах и системах...... 46 3. 5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены...... 50 4. Нестандартные текстовые задачи...... 53 4. 1. Недоопределённые задачи...... 53 4. 2. Неравенства в текстовых задачах...... 56 4. 3. Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения...... 59 5. Использование свойств квадратного трёхчлена в задачах с параметрами...... 63 5. 1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости от значений параметра. Теорема Виета...... 63 5. 2. Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на числовой оси...... 67 5. 3. Смешанные задачи...... 73 6. Использование различных свойств функций и применение графических иллюстраций...... 75 6. 1. Область определения функции, монотонность, периодичность, чётность и нечётность...... 75 6. 2. Множество значений функции, промежутки знакопостоянства и монотонности...... 78 6. 3. Функциональные уравнения и неравенства...... 83 6. 4. Использование графических иллюстраций...... 89 7. Метод оценок...... 95 7. 1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства...... 95 7. 2. Тригонометрические уравнения и неравенства...... 98 7. 3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями...... 104 8. Задачи на доказательство...... 106 8. 1. Тригонометрические задачи на доказательство...... 106 8. 2. Метод математической индукции...... 109 8. 3. Доказательство неравенств и тождеств...... 111 9. Использование особенностей условия задачи...... 114 9. 1. Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное введение параметров, смена ролей параметра и переменной...... 114 9. 2. Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование единственности решения, необходимые и достаточные условия...... 118 9. 3. Редукция задачи и переформулирование условия...... 123 9. 4. Смешанные задачи...... 127 Часть II: Указания и решения...... 131 1. Элементы теории чисел...... 131 1. 1. Целые числа. Делимость и остатки...... 131 1. 2. Уравнения в целых числах...... 138 1. 3. Смешанные задачи на целые числа...... 146 1. 4. Рациональные и иррациональные числа...... 154 1. 5. Сравнение чисел...... 159 2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции...... 169 2. 1. Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями...... 169 2. 2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями...... 180 2. 3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства...... 191 2. 4. Смешанные задачи...... 202 3. Полезные преобразования и замены переменных...... 218 3. 1. Использование формул сокращённого умножения, выделение полного квадрата...... 218 3. 2. Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах...... 236 3. 3. Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах...... 245 3. 4. Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях, неравенствах и системах...... 259 3. 5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены...... 276 4. Нестандартные текстовые задачи...... 284 4. 1. Недоопределённые задачи...... 284 4. 2. Неравенства в текстовых задачах...... 293 4. 3. Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения...... 300 5. Использование свойств квадратного трехчлена в задачах с параметрами...... 312 5. 1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости от значений параметра. Теорема Виета...... 312 5. 2. Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена на числовой оси...... 322 5. 3. Смешанные задачи...... 337 6. Использование различных свойств функций и графических иллюстраций...... 353 6. 1. Область определения функции, монотонность, периодичность, чётность и нечётность...... 353 6. 2. Множество значений функции, промежутки знакопостоянства и монотонности...... 360 6. 3. Функциональные уравнения и неравенства...... 375 6. 4. Использование графических иллюстраций...... 392 7. Метод оценок...... 413 7. 1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства...... 413 7. 2. Тригонометрические уравнения и неравенства...... 422 7. 3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями...... 442 8. Задачи на доказательство...... 458 8. 1. Тригонометрические задачи на доказательство...... 458 8. 2. Метод математической индукции...... 468 8. 3. Доказательство неравенств и тождеств...... 477 9. Использование особенностей условия задачи...... 491 9. 1. Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное введение параметров, смена ролей параметра и переменной...... 491 9. 2. Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование единственности решения, необходимые и достаточные условия...... 500 9. 3. Редукция задачи и переформулирование условия...... 511 9. 4. Смешанные задачи...... 518 Ответы...... 527 Литература...... 536

Издательство: "БИНОМ. Лаборатория знаний" (2015)

ISBN: 9785996328017