Книга: Красс М. С., Чупрынов Б. П. «Математика в экономике. Основы математики»

Изложены математические дисциплины, необходимые в высшем экономическом образовании, согласно государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования. Приведены основные элементы мате¬матической статистики, методы оптимизации в экономике, основы эконометрики. Учебник содержит методы и модели, используемые в наиболее актуальных со¬временных аспектах экономики: приложения теории массового обслуживания, расчеты рисков, динамика эколого-экономических систем, методы финансовой математики.
Для студентов, магистрантов, аспирантов и преподавателей экономических и смежных технических специальностей вузов, а также для слушателей, получающих второе высшее образование.

Содержание:

Предисловие...... 9 Раздел 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ...... 11 Глава 1. Основные положения теории вероятностей...... 11 1. 1. Основные понятия теории вероятностей...... 11 1. 1. 1. Некоторые формулы комбинаторики...... 11 1. 1. 2. Виды случайных событий...... 13 1. 1. 3. Классическое определение вероятности...... 13 1. 2. Теорема сложения вероятностей...... 15 1. 2. 1. Несовместные события...... 15 1. 2. 2. Полная группа событий...... 16 1. 2. 3. Противоположные события...... 16 1. 3. Теорема умножения вероятностей...... 17 1. 3. 1. Произведение событий и условная вероятность...... 17 1. 3. 2. Независимые события...... 19 1. 4. Обобщения теорем сложения и умножения...... 21 1. 4. 1. Появление только одного из независимых событий...... 21 1. 4. 2. Теорема сложения вероятностей совместных событий...... 22 1. 4. 3. Формула полной вероятности...... 23 1. 4. 4. Формулы Байеса...... 24 1. 5. Схема независимых испытаний...... 26 1. 5. 1. Формула Бернулли...... 26 1. 5. 2. Локальная теорема Лапласа...... 27 1. 5. 3. Интегральная теорема Лапласа...... 28 1. 5. 4. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности...... 31 Упражнения...... 32 Глава 2. Случайные величины...... 34 2. 1. Случайные величины и законы их распределения...... 34 2. 1. 1. Виды случайных величин...... 34 2. 1. 2. Дискретные случайные величины...... 34 2. 1. 3. Биномиальное распределение...... 37 2. 1. 4. Распределение Пуассона...... 38 2. 2. Числовые характеристики дискретных случайных величин...... 38 2. 2. 1. Математическое ожидание дискретной случайной величины...... 38 2. 2. 2. Свойства математического ожидания...... 39 2. 2. 3. Дисперсия дискретной случайной величины...... 41 2. 2. 4. Свойства дисперсии...... 43 2. 2. 5. Среднее квадратическое отклонение...... 44 2. 2. 6. Начальные и центральные моменты...... 46 2. 3. Система двух случайных величин...... 47 2. 3. 1. Двумерная случайная величина...... 47 2. 3. 2. Корреляционный момент...... 49 2. 3. 3. Коэффициент корреляции...... 50 2. 3. 4. Линейная регрессия...... 51 2. 4. Непрерывные случайные величины...... 52 2. 4. 1. Функция распределения и ее свойства...... 52 2. 4. 2. Плотность распределения вероятностей и ее свойства...... 55 2. 4. 3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин...... 57 2. 4. 4. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение среднего арифметического n одинаково распределенных случайных величин...... 59 2. 5. Основные распределения непрерывных случайных величин...... 59 2. 5. 1. Равномерное распределение...... 59 2. 5. 2. Нормальное распределение...... 61 2. 5. 3. Распределение Х² Пирсона...... 64 2. 5. 4. Распределение Стьюдента...... 64 2. 5. 5. Распределение Фишера...... 65 2. 5. 6. Асимметрия и эксцесс...... 65 Упражнения...... 68 Глава 3. Элементы математической статистики...... 70 3. 1. Выборочный метод...... 70 3. 1. 1. Выборки...... 70 3. 1. 2. Способы отбора...... 71 3. 1. 3. Статистическое распределение выборки...... 71 3. 1. 4. Эмпирическая функция распределения...... 72 3. 1. 5. Полигон и гистограмма...... 74 3. 2. Статистические оценки параметров распределения...... 75 3. 2. 1. Виды статистических оценок...... 75 3. 2. 2. Виды дисперсий...... 77 3. 2. 3. Эмпирические моменты...... 79 3. 2. 4. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения...... 80 3. 3. Точечные оценки параметров распределения...... 81 3. 3. 1. Метод моментов...... 81 3. 3. 2. Метод наибольшего правдоподобия...... 82 3. 4. Интервальные оценки параметров распределения...... 84 3. 4. 1. Доверительный интервал...... 84 3. 4. 2. Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения...... 85 3. 5. Статистические оценки статистических гипотез...... 88 3. 5. 1. Виды статистических гипотез...... 88 3. 5. 2. Общая схема проверки статистических гипотез...... 89 3. 5. 3. Типы статистических критериев проверки гипотез...... 90 3. 6. Закон больших чисел...... 92 3. 6. 1. Неравенство Чебышева...... 92 3. 6. 2. Закон больших чисел...... 93 3. 6. 3. Центральная предельная теорема...... 93 3. 7. Цепи Маркова...... 93 3. 7. 1. Основные понятия...... 93 3. 7. 2. Равенство Маркова...... 94 Упражнения...... 96 Раздел 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ...... 98 Глава 4. Расчеты экономических ситуаций...... 98 4. 1. Графы, сети и их применение в экономике...... 98 4. 1. 1. Основные определения и характеристики граф...... 98 4. 1. 2. Плоские графы...... 104 4. 1. 3. Ориентированные графы...... 108 4. 1. 4. Построение минимального остовного дерева сети...... 110 4. 1. 5. Задача нахождения кратчайшего пути...... 113 4. 1. 6. Дерево решений...... 115 4. 1. 7. Сетевые графики...... 117 4. 2. Основы управления рисками в экономике...... 127 4. 2. 1. Риски в экономике...... 127 4. 2. 2. Оптимизация портфелей банка...... 131 4. 3. Теория массового обслуживания в экономике...... 137 4. 3. 1. Марковские процессы и потоки событий...... 138 4. 3. 2. Системы массового обслуживания...... 140 4. 3. 3. Одноканальная СМО с отказами...... 144 4. 3. 4. Многоканальная СМО с отказами...... 147 4. 3. 5. Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди...... 151 4. 3. 6. Многоканальная СМО с ожиданием и неограниченной очередью...... 157 4. 4. Элементы теории игр...... 160 4. 4. 1. Основные понятия...... 160 4. 4. 2. Графическое решение игр...... 164 4. 4. 3. Игры с природой...... 169 4. 4. 4. Применение игр с природой в экономике...... 171 4. 4. 5. Кооперативные игры...... 174 4. 4. 6. Позиционные игры...... 176 Упражнения...... 179 Глава 5. Математические модели в финансовых операциях...... 186 5. 1. Проценты и процентные ставки...... 187 5. 1. 1. Простые проценты...... 187 5. 1. 2. Сложные проценты...... 199 5. 1. 3. Начисление процентов в условиях инфляции...... 211 5. 2. Потоки платежей...... 214 5. 2. 1. Финансовые ренты...... 215 5. 2. 2. Определение параметров финансовой ренты...... 222 5. 3. Применение математических моделей...... 225 5. 3. 1. Конверсия валюты и начисление процентов...... 225 5. 3. 2. Погашение задолженности частями...... 230 5. 3. 3. Выбор инвестиционных и коммерческих проектов...... 235 5. 3. 4. Модели операций с ценными бумагами...... 242 Упражнения...... 249 Глава 6. Линейное программирование...... 254 6. 1. Некоторые теоремы линейного программирования...... 255 6. 1. 1. Формы модели задач...... 255 6. 1. 2. Основные определения...... 257 6. 1. 3. Некоторые теоремы линейного программирования...... 257 6. 2. Графический метод решения задач...... 261 6. 2. 1. Алгоритм решения задач...... 261 6. 2. 2. Определение оптимального плана выпуска изделий...... 262 6. 2. 3. Экономический анализ задач...... 263 6. 3. Симплексный метод...... 266 6. 3. 1. Теоретические основы и геометрическая интерпретация метода...... 267 6. 3. 2. Симплексные таблицы...... 269 6. 3. 3. Применение симплексного метода в экономике...... 270 6. 3. 4. Решение матричных игр симплексным методом...... 272 6. 4. Двойственные задачи...... 275 6. 4. 1. Виды математических моделей двойственных задач...... 275 6. 4. 2. Решение двойственных задач...... 278 6. 4. 3. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности...... 283 6. 4. 4. Применение теории двойственности в экономике...... 284 6. 5. Транспортная задача...... 287 6. 5. 1. Закрытая транспортная задача...... 288 6. 5. 2. Открытая транспортная задача...... 296 6. 5. 3. Применение транспортных моделей в экономических задачах...... 299 6. 6. Целочисленное программирование...... 301 6. 6. 1. Графический метод решения задач...... 301 6. 6. 2. Метод Гомори и его применение в экономических задачах...... 303 6. 7. Задачи о назначениях с несколькими целевыми функциями...... 306 6. 7. 1. Задача о назначениях...... 306 6. 7. 2. Задачи с несколькими целевыми функциями...... 311 6. 8. Параметрическое линейное программирование...... 314 6. 8. 1. Линейное программирование с параметром в целевой функции...... 315 6. 8. 2. Линейное программирование с параметром в правых частях системы ограничений...... 320 6. 8. 3. Линейное программирование с параметром в целевой функции и правых частях системы ограничений...... 322 6. 8. 4. Транспортная параметрическая задача...... 324 Упражнения...... 330 Глава 7. Нелинейное программирование...... 343 7. 1. Формулировка модели...... 343 7. 1. 1. Графический метод...... 344 7. 1. 2. Дробно-линейное программирование...... 348 7. 1. 3. Метод множителей Лагранжа...... 354 7. 1. 4. Выпуклое программирование...... 357 7. 2. Динамическое программирование...... 364 7. 2. 1. Основные понятия...... 364 7. 2. 2. Применение метода функциональных уравнений в определении оптимальных сроков замены оборудования...... 365 7. 2. 3. Экономические задачи, решаемые методом динамического программирования...... 369 Упражнения...... 378 Раздел 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ...... 382 Глава 8. Обобщенные модели экономики...... 382 8. 1. Аппарат производственных функций...... 382 8. 1. 1. Производственные функции...... 383 8. 1. 2. Основные характеристики производственных функций...... 386 8. 1. 3. Основные виды производственных функций...... 395 8. 2. Модель потребительского выбора...... 399 8. 2. 1. Функция полезности...... 400 8. 2. 2. Задача потребительского выбора...... 402 8. 2. 3. Функции спроса...... 407 8. 2. 4. Модель Р. Стоуна...... 409 8. 2. 5. Уравнение Слуцкого...... 411 8. 3. Некоторые модели управления запасами...... 414 8. 3. 1. Основная модель управления запасами...... 415 8. 3. 2. Модель производственных запасов...... 417 8. 3. 3. Модель запасов, включающая штрафы...... 418 8. 3. 4. Применение моделей управления запасами в экономике...... 420 Упражнения...... 423 Глава 9. Глобальные модели экономики...... 425 9. 1. Общие модели экономики...... 425 9. 1. 1. Односекторная модель Леонтьева...... 425 9. 1. 2. Модель Солоу...... 428 9. 1. 3. Оптимальная постоянная норма накопления...... 431 9. 2. Моделирование эколого-экономических систем...... 435 9. 2. 1. Эколого-экономические системы...... 435 9. 2. 2. Балансовые модели...... 439 9. 2. 3. Модели системной динамики...... 446 Раздел 4. ЭКОНОМЕТРИКА...... 454 Глава 10. Линейная и нелинейная регрессия...... 454 10. 1. Линейная регрессия и корреляция...... 455 10. 1. 1. Двумерная регрессионная модель...... 455 10. 1. 2. Нормальная линейная регрессионная модель с одной переменной...... 457 10. 2. Нелинейная регрессия и корреляция...... 466 10. 2. 1. Нелинейная регрессия...... 466 10. 2. 2. Нелинейная корреляция...... 471 10. 3. Множественная регрессия и корреляция...... 474 10. 3. 1. Нормальная линейная модель множественной регрессии...... 474 10. 3. 2. Некоторые особенности множественной регрессии и корреляции...... 478 10. 3. 3. Отбор факторов и методы построения множественной линейной корреляционной и регрессионной зависимости...... 479 Упражнения...... 489 Глава 11. Прогнозирование экономических процессов...... 490 11. 1. Классификация и виды временных рядов...... 490 11. 1. 1. Классификация экономических прогнозов...... 490 11. 1. 2. Виды временных рядов...... 491 11. 2. Показатели динамики экономических процессов...... 496 11. 2. 1. Основные показатели динамики...... 496 11. 2. 2. Сглаживание временных рядов с помощью скользящей средней...... 498 11. 2. 3. Применение моделей кривых роста...... 502 11. 2. 4. Расчет доверительных интервалов прогноза, адекватность и точность моделей...... 508 Упражнения...... 513 Приложения...... 516 Ответы...... 525 Библиографический список...... 532 Предметный указатель...... 534

Издательство: "Финансы и статистика" (2007)

ISBN: 9785279030712