Книга: Важдаев В. П., Коган М. М., Лиогонький М. И., Протасова Л. А. «64 лекции по математике»

Лекции по математике в двух книгах написаны преподавателями кафедры математики Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета для студентов различных «нематематических» специальностей: будущих инженеров-строителей, экологов, экономистов и других. Первая книга включает в себя основные понятия и методы линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, дифференциального и интегрального исчислений.

Содержание:

Введение...... 6 Раздел 8. Дифференциальные уравнения...... 7 Лекция 40. Основные понятия теории дифференциальных уравнений...... 7 40. 1. Уравнения первого порядка...... 8 40. 2. Методизоклин...... 10 Лекция 41. Методы решений дифференциальных уравнений первого порядка...... 14 41. 1. Уравнения с разделяющимися переменными...... 14 41. 2. Задача о форме вращающегося ножа...... 14 41. 3. Однородные дифференциальные уравнения...... 17 Лекция 42. Линейные дифференциальные уравнения. Приближенные методы решений уравнений первого порядка...... 19 42. 1. Решение линейного уравнения и уравнения Бернулли...... 19 42. 2. Приближенные методы решения уравнений первого порядка...... 20 Лекция 43. Дифференциальные уравнения второго порядка...... 25 43. 1. Задача Коши...... 25 43. 2. Задача о цепной линии...... 26 43. 3. Методы понижения порядка уравнения...... 28 Лекция 44. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка...... 30 44. 1. Линейный осциллятор...... 31 44. 2. Структура общего решения дифференциального уравнения второго порядка...... 32 Лекция 45. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами...... 35 Лекция 46. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами...... 40 46. 1. Метод неопределенных коэффициентов...... 40 46. 2. Метод вариаций произвольных постоянных...... 42 Лекция 47. Биения и резонанс...... 45 Лекция 48. Системы дифференциальных уравнений...... 50 48. 1. Нормальные системы...... 50 48. 2. Математическая модель «хищник-жертва»...... 52 48. 3. Метод исключения...... 56 Раздел 9. Кратные интегралы...... 58 Лекция 49. Двойной интеграл: определение, свойства...... 58 49. 1. Задача о вычислении объёма цилиндрического тела...... 58 49. 2. Определение двойного интеграла...... 60 49. 3. Свойства двойного интеграла...... 62 Лекция 50. Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах...... 64 50. 1. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных и декартовых координатах...... 64 50. 2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах...... 68 Лекция 51. Применение двойных интегралов...... 72 51. 1. Вычисление площади поверхности интеграла...... 72 51. 2. Масса, статические моменты, координаты центра тяжести и моменты инерции плоской фигуры...... 76 Лекция 52. Определение тройного интеграла и его вычисление...... 80 52. 1. Задача о нахождении массы материального тела...... 80 52. 2. Определение тройного интеграла...... 81 52. 3. Вычисление тройного интеграла в прямоугольных и декартовых координатах...... 83 52. 4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах...... 86 Лекция 53. Тройной интеграл в сферических координатах. Приложения к механике...... 90 53. 1. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах...... 90 53. 2. Статические моменты, координаты центра тяжести, моменты инерции пространственных тел...... 94 Раздел 10. Криволинейные интегралы...... 99 Лекция 54. Криволинейный интеграл по длине дуги...... 99 54. 1. Определение криволинейного интеграла 1-го рода...... 99 54. 2. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода...... 101 54. 3. Некоторые приложения криволинейного интеграла 1-ого рода...... 106 Лекция 55. Криволинейные интегралы по координатам...... 109 55. 1. Определение и обозначения...... 109 55. 2. Свойства криволинейных интегралов 2-го рода...... 112 55. 3. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода...... 113 55. 4. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру...... 116 Лекция 56. Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования...... 119 56. 1. Случай плоского силового поля...... 119 56. 2. Случай пространственного силового поля...... 123 Раздел 11. Ряды...... 127 Лекция 57. Числовые ряды...... 127 57. 1. Числовые ряды. Основные определения...... 127 57. 2. Простейшие свойства рядов...... 130 57. 3. Признаки сходимости рядов...... 131 Лекция 58. Знакопеременные ряды. Функциональные ряды...... 138 58. 1. Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница...... 138 58. 2. Абсолютная и условная сходимость рядов...... 139 58. 3. Функциональные ряды. Основные определения...... 140 Лекция 59. Степенные ряды...... 143 59. 1. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля...... 143 59. 2. Ряды Тейлора – Маклорена...... 146 59. 3. Приложения степенных рядов. Приближенное вычисление функций...... 151 59. 4. Решение дифференциальных уравнений...... 152 Лекция 60. Ряды Фурье...... 154 60. 1. Введение...... 154 60. 2. Коэффициенты ряда Фурье...... 156 60. 3. Разложение в ряд Фурье четных функций...... 161 Лекция 61. Ряды Фурье (продолжение)...... 164 61. 1. Разложение в ряд Фурье нечетных функций...... 164 61. 2. Разложение произвольной функции только по косинусам или только по синусам...... 165 61. 3. Разложение в ряд Фурье функции по произвольному промежутку...... 167 Раздел 12. Элементы теории множеств, математической логики и теории графов...... 169 Лекция 62. Элементы теории множеств...... 169 62. 1 Общие представления о множествах...... 169 62. 2. Подмножества. Универсальное множество. Множество всех подмножеств данного множества...... 171 62. 3. Алгебраические операции над множествами...... 173 62. 4. Эквивалентность множеств. Мощность множеств...... 175 62. 5. Прямое произведение множеств...... 177 62. 6. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности...... 177 Лекция 63. Элементы математической логики...... 180 63. 1. Введение...... 180 63. 2. Высказывания. Алгебра высказываний...... 181 63. 3. Понятие предиката...... 184 63. 4. Определение математических понятий посредством формул логики предикатов...... 188 Лекция 64. Элементы теории графов...... 189 64. 1. Определение и основные типы графов...... 189 64. 2. Основные понятия в теории графов...... 191 64. 3. Эйлеровы графы...... 195 64. 4. Изоморфизм графов...... 196 64. 5. Деревья...... 198

Издательство: "ННГАСУ" (2012)