Книга: Важдаев В. П., Коган А. М., Лиогонький М. И., Протасова Л. А. «64 лекции по математике»

Лекции по математике в двух книгах написаны преподавателями кафедры математики Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета для студентов различных «нематематических» специальностей: будущих инженеров-строителей, экологов, экономистов и других. Первая книга включает в себя основные понятия и методы линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, дифференциального и интегрального исчислений.

Содержание:

Введение...... 8 Раздел 1. Матрицы и системы линейных уравнений...... 10 Лекция 1. Введение в матричную алгебру...... 10 1. 1. Основные понятия...... 10 1. 2. Сложение матриц и умножение на число...... 10 1. 3. Умножение матриц...... 11 1. 4. Матрицы и линейные преобразования...... 12 Лекция 2. Правило Крамера и определители матриц...... 16 2. 1. Системы двух уравнений с двумя неизвестными...... 16 2. 2. Системы трех уравнений с тремя неизвестными...... 19 Лекция 3. Системы и определители матриц n-го порядка...... 22 3. 1. Матричная запись системы линейных уравнений...... 22 3. 2. Определители матриц порядка n и их свойства...... 23 3. 3. Обратная матрица...... 27 Лекция 4. Системы m уравнений с n неизвестными...... 31 4. 1. Ранг матрицы...... 31 4. 2. Теорема Кронекера-Капелли...... 31 Раздел 2. Векторная алгебра...... 36 Лекция 5. Векторы и линейные операции над ними...... 36 5. 1. Основные понятия и определения...... 36 5. 2. Линейные операции над векторами...... 36 5. 3. Проекция вектора на ось...... 39 Лекция 6. Линейная комбинация векторов. Системы координат...... 43 6. 1. Линейная комбинация векторов...... 43 6. 2. Разложение вектора по базису. Координаты вектора...... 45 6. 3. Декартова система координат...... 46 6. 4. Полярная система координат...... 47 Лекция 7. Скалярное произведение...... 50 7. 1. Скалярное произведение двух векторов...... 50 7. 2. Скалярное произведение в прямоугольных координатах...... 52 7. 3. Деление отрезка в заданном отношении...... 54 Лекция 8. Векторное и смешанное произведения векторов...... 56 8. 1. Векторное произведение...... 56 8. 2. Смешанное произведение...... 60 Раздел 3. Аналитическая геометрия. Прямые и плоскости...... 65 Лекция 9. Прямая линия на плоскости...... 65 9. 1. Общее уравнение прямой...... 65 9. 2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом...... 68 9. 3. Параметрические и канонические уравнения прямой...... 68 Лекция 10. Задачи, связанные с прямыми на плоскости...... 70 10. 1. Взаимное расположение двух прямых...... 70 10. 2. Пучок прямых, определяемый двумя пересекающимися прямыми...... 74 10. 3. Расстояние от точки до прямой...... 74 10. 3. Линейные неравенства...... 76 Лекция 11. Плоскость...... 78 11. 1. Различные виды уравнения плоскости...... 78 11. 2. Взаимное расположение двух плоскостей...... 82 11. 3. Расстояние от точки до плоскости...... 84 Лекция 12. Прямая линия в пространстве...... 86 12. 1. Различные виды уравнений прямой...... 86 12. 2. Проекция точки на прямую и расстояние от точки до прямой в пространстве...... 90 12. 3. Пересечение прямых в пространстве...... 91 12. 4. Расстояние между двумя прямыми...... 93 Лекция 13. Взаимное расположение прямых и плоскостей...... 95 13. 1. Угол между прямыми...... 95 13. 2. Угол между прямой и плоскостью...... 96 13. 3. Пересечение прямой с плоскостью...... 98 Лекция 14. Другие задачи о прямых и плоскостях...... 100 Раздел 4. Математический анализ. Дифференциальное исчисление...... 106 Лекция 15. Функция...... 106 15. 1. Функция и способы её задания...... 106 15. 2. Обратная функция...... 107 15. 3. Предел последовательности...... 109 Лекция 16. Свойства пределов. Второй замечательный предел...... 111 16. 1. Свойства сходящихся последовательностей...... 111 16. 2. Второй замечательный предел...... 115 16. 3. Раскрытие неопределённостей...... 116 Лекция 17. Предел функции. Непрерывность...... 119 17. 1. Предел функции...... 119 17. 2. Первый замечательный предел...... 121 17. 3. Непрерывность функции...... 122 17. 4. Свойства непрерывных функций...... 124 Лекция 18. Производная...... 128 18. 1. Физический, геометрический и математический смысл производной...... 128 18. 2. Вычисление производных...... 130 18. 3. Уравнение касательной. Угол между кривыми...... 132 18. 4. Правила дифференцирования...... 133 Лекция 19. Производная (продолжение)...... 135 19. 1. Дифференцирование сложной и обратной функций...... 135 19. 2. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Касательная к параметрически заданной кривой...... 137 19. 3. Производная функции, заданной неявно. Касательная к неявно заданной кривой...... 139 19. 4. Логарифмическое дифференцирование...... 140 19. 5. Сводка формул производных и правил дифференцирования...... 141 19. 6. Производные высших порядков...... 142 Лекция 20. Вектор-функция...... 144 20. 1. Вектор-функция и её задание...... 144 20. 2. Предел, непрерывность и производная вектор-функции...... 145 20. 3. Уравнения касательной к пространственной кривой и уравнение нормальной плоскости...... 147 Лекция 21. Дифференциал...... 150 21. 1. Дифференциал функции...... 150 21. 2. Правило Лопиталя...... 154 Лекция 22. Исследование функций и построение их графиков...... 157 22. 1. Формула Лагранжа...... 157 22. 2. Признак монотонности функции...... 158 22. 3. Экстремумы...... 159 Лекция 23. Исследование функций и построение их графиков (продолжение)...... 163 23. 1. Выпуклость...... 163 23. 2. Точки перегиба...... 165 23. 3. Асимптоты...... 166 23. 4. Примерный план исследования функции...... 169 Лекция 24. Кривизна. Приближённое решение уравнений...... 171 24. 1. Понятие кривизны...... 171 24. 2. Вычисление кривизны плоской кривой...... 171 24. 3. Геометрический смысл кривизны...... 172 24. 4. Приближённое решение уравнений...... 173 Раздел 5. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка...... 178 Лекция 25. Линии второго порядка...... 178 25. 1. Эллипс...... 178 25. 2. Гипербола...... 180 Лекция 26. Парабола. Приведение кривых к каноническому виду...... 185 26. 1. Парабола...... 185 26. 2. Вырожденные случаи...... 186 26. 3. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду...... 187 26. 4. Параллельный перенос осей координат...... 187 26. 5. Преобразование поворота системы координат...... 189 Лекция 27. Поверхности второго порядка...... 195 27. 1. Цилиндрические поверхности...... 195 27. 2. Поверхности вращения...... 197 Лекция 28. Канонические уравнения поверхностей второго порядка...... 200 28. 1. Эллипсоиды...... 200 28. 2. Гиперболоиды...... 202 28. 3. Конусы...... 205 28. 4. Параболоиды...... 206 Раздел 6. Математический анализ. Интегральное исчисление...... 209 Лекция 29. Неопределенный интеграл...... 209 29. 1. Первообразная функция и неопределённый интеграл...... 209 29. 2. Интегрирование методами подстановки и замены переменной...... 213 Лекция 30. Методы интегрирования (продолжение)...... 216 30. 1. Интегрирование простейших иррациональностей...... 216 30. 2. Интегрирование по частям...... 217 30. 3. Интегрирование тригонометрические выражений...... 218 Лекция 31. Комплексные числа...... 222 31. 1. Введение...... 222 31. 2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел...... 223 31. 3. Тригонометрическая форма комплексного числа...... 223 31. 4. Операции над комплексными числами...... 224 Лекция 32. Решение алгебраических уравнений...... 228 32. 1. Извлечение корня из комплексного числа...... 228 32. 2. Квадратное уравнение...... 230 32. 3. Разложение многочлена на множители...... 231 32. 4. Разложение на простые дроби и интегрирование дробно-рациональных функций...... 232 Лекция 33. Определённый интеграл...... 235 33. 1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла...... 235 33. 2. Понятие определённого интеграла...... 238 33. 3. Существование первообразной функции...... 239 33. 4. Формула Ньютона - Лейбница...... 240 Лекция 34. Вычисление определённого интеграла...... 242 34. 1. Интегрирование по частям и замена переменной...... 242 34. 2. Вычисление площади фигуры в полярной системе координат...... 245 34. 3. Вычисление площади фигуры, ограниченной кривыми, заданными параметрически...... 247 Лекция 35. Другие приложения определённого интеграла...... 249 35. 1. Объём тела с известной площадью поперечного сечения...... 249 35. 2. Вычисление объёмов тел вращения...... 250 35. 3. Несобственные интегралы...... 251 Раздел 7. Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций многих переменных...... 256 Лекция 36. Функции многих переменных...... 256 36. 1. Понятие функции двух переменных...... 256 36. 2. Предел и непрерывность функции двух переменных...... 257 36. 3. Частные производные, производная по направлению...... 259 Лекция 37. Производные сложных функций...... 263 37. 1. Дифференцирование сложных функций...... 263 37. 2. Вычисление производной по направлению...... 264 37. 3. Дифференцирование неявных функций...... 265 37. 4. Градиент...... 265 37. 5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности...... 269 Лекция 38. Дифференциал и экстремумы функции двух переменных...... 272 38. 1. Дифференцируемость функции двух переменных. Дифференциал...... 272 38. 2. Производные и дифференциалы высших порядков...... 275 38. 3. Экстремумы функции многих переменных...... 276 Лекция 39. Условный экстремум...... 280 39. 1. Понятие условного экстремума...... 280 39. 2. Метод множителей Лагранжа...... 281

Издательство: "ННГАСУ" (2012)