Книга: Игнатьев Ю. «Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей в евклидовом пространстве»

Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей в евклидовом пространстве

Учебное пособие является приложением к Курсу лекций Автора по дифференциальной геометрии и посвящено изложению основ дифференциальной геометрии кривых и поверхностей. Курс лекций снабжен большим количеством примеров решений основных геометрических задач дифференциальной геометрии, в том числе и примеров решения задач дифференциальной геометрии средствами пакета программ Maple.
Материал ы пособия предназначены для студентов математических факультетов педагогических институтов по специальностям «Математика», «Математика и информатика», «Математика и иностранный язык».

Содержание:

I Дифференциальная геометрия кривых...... 8 I Кривые и поверхности...... 9 I. 1 Дифференцирование и интегрирование векторной функции...... 9 I. 1. 1 Бесконечно малые векторы...... 9 I. 1. 2 Предел переменного вектора...... 10 I. 1. 3 Векторная функция скалярного аргумента...... 11 I. 1. 4 Производная векторной функции...... 13 I. 1. 5 Геометрический смысл производной векторной функции...... 14 I. 2 Дифференцирование и интегрирование векторной функции...... 15 I. 2. 1 Правила дифференцирования вектора...... 15 I. 2. 2 Формула Тейлора...... 18 I. 2. 3 Интегрирование векторной функции...... 19 I. 3 Векторные функции со специальными свойствами...... 19 I. 3. 1 Вектор постоянной длины и вектор постоянного направления...... 19 I. 3. 2 Вектор, параллельный данной плоскости...... 21 I. 3. 3 Круговая векторная функция...... 22 I. 4 Кривые в пространстве...... 23 I. 4. 1 Параметризованная кривая...... 23 I. 4. 2 Касательная параметризованной кривой...... 25 I. 4. 3 Неявное уравнение плоской кривой...... 27 I. 5 Поверхности...... 28 I. 5. 1 Поверхность и ее касательные. Нормаль поверхности...... 28 I. 5. 2 Особая точка поверхности...... 30 I. 5. 3 Неявное задание пространственной кривой...... 31 I. 6 Соприкосновение кривых и поверхностей...... 32 I. 6. 1 n-параметрическое семейство кривых...... 32 I. 6. 2 Соприкосновение кривых...... 33 I. 6. 3 Соприкосновение кривой и поверхности...... 37 II Сопровождающий трехгранник...... 39 II. 1 Соприкасающаяся плоскость...... 39 II. 1. 1 Определение соприкасающейся плоскости...... 39 II. 1. 2 Уравнение соприкасающейся плоскости...... 41 II. 1. 3 Касательная плоскость и соприкасающаяся плоскость...... 42 II. 1. 4 Расстояние от точки кривой до соприкасающейся плоскости...... 43 II. 1. 5 Точки уплощения...... 45 II. 2 Основной трехгранник...... 45 II. 3 Натуральная параметризация кривой...... 47 II. 3. 1 Длина дуги...... 47 II. 3. 2 Длина дуги как параметр...... 49 II. 3. 3 Производные радиуса-вектора по натуральному параметру...... 50 III Формулы Френе - Серре...... 52 III. 1 Единичные векторы основного трехгранника...... 52 III. 2 Формулы Френе - Серре...... 53 III. 3 Разложение производных по натуральному параметру...... 56 III. 4 Лемма о единичном векторе...... 58 III. 5 Геометрический смысл кривизны...... 59 III. 6 Геометрический смысл кручения...... 61 III. 7 Формулы для вычисления кривизны и кручения...... 62 III. 8 Кривизна плоской кривой...... 64 IV Натуральные уравнения кривой...... 67 IV. 1 Натуральные уравнения...... 67 IV. 2 Кривые с общими натуральными уравнениями...... 67 V Задачи дифференциальной геометрии кривых...... 70 V. 1 Общие задачи о кривых...... 70 V. 2 Кривая и касательная...... 73 V. 3 Поверхность и ее касательные...... 73 V. 4 Соприкосновение...... 74 V. 5 Сопровождающий трехгранник...... 75 V. 6 Формулы Френе - Серре...... 79 V. 7 Кривизна и кручение кривой...... 82 V. 8 Натуральные уравнения кривой...... 85 VI Дифференциальная геометрия кривых в пакете Maple...... 87 VI. 1 Maple-процедура вычисления производных векторной функции скалярного аргумента...... 87 VI. 2 Процедура вычисление кривизны кривых...... 88 VI. 3 Процедура вычисления кручения кривых...... 89 VI. 4 Пример исследования кривых...... 90 VI. 5 Исследование кривых в евклидовом пространстве по их натуральным уравнениям...... 93 VI. 5. 1 Задание кривой...... 93 VI. 5. 2 Вычисление кривизны и кручения кривой...... 95 VI. 5. 3 Формирование системы дифференциальных уравнений...... 96 VI. 5. 4 Начальные условия...... 99 VI. 5. 5 Задание натуральных уравнений кривой...... 99 VI. 5. 6 Создание процедуры численного интегрирования...... 101 II Дифференциальная геометрия поверхностей...... 106 VII Первая квадратичная форма поверхности...... 107 VII. 1 Криволинейные координаты...... 107 VII. 2 Параметрическое уравнение поверхности...... 110 VII. 3 Касательные прямые к поверхности...... 112 VII. 4 Касательная плоскость к поверхности...... 114 VII. 5 Длина дуги на поверхности...... 115 VII. 6 Первая квадратичная форма поверхности...... 116 VII. 7 Угол между двумя линиями на поверхности...... 116 VII. 8 Площадь поверхности...... 118 VII. 9 Задачи на первую квадратичную форму поверхности...... 120 VIII Внутренняя геометрия поверхности...... 123 VIII. 1 Наложимость поверхностей...... 123 VIII. 2 Преобразование первой квадратичной формы...... 125 VIII. 3 Задачи внутренней геометрии...... 129 VIII. 4 Геодезическая кривизна и геодезические линии...... 129 VIII. 4. 1 Определение геодезической кривизны...... 129 VIII. 4. 2 Геодезические линии и уравнения геодезических линий...... 131 VIII. 5 Геодезическая линия как кратчайшая...... 134 VIII. 6 Задачи внутренней геометрии поверхности...... 138 IX Вторая квадратичная форма поверхности...... 145 IX. 1 Кривизна кривых на поверхности...... 145 IX. 2 Формулы для кривизн...... 152 IX. 3 Классификация точек поверхности...... 154 IX. 4 Задачи на вторую квадратичную форму поверхности...... 156 X Геометрия поверхностей вращения...... 161 X. 1 Первая квадратичная форма...... 161 X. 2 Вторая квадратичная форма...... 163 X. 3 Геодезические поверхности вращения...... 165 X. 4 Геометрия сферы...... 170 X. 4. 1 Метрика сферы...... 170 X. 4. 2 Кривизна сферы...... 173 X. 4. 3 Основные формулы для сферы...... 173 X. 4. 4 Геодезические сферы...... 174 X. 4. 5 Стереографическая проекция сферы на плоскость...... 177 X. 5 Геометрия псевдосферы...... 179 X. 5. 1 Трактриса и псевдосфера...... 179 X. 5. 2 Первая квадратичная форма псевдосферы...... 182 X. 5. 3 Вторая квадратичная форма псевдосферы...... 183 X. 5. 4 Геодезические псевдосферы...... 184 XI Построение геодезической сети на псевдосфере средствами Maple...... 187 XI. 1 Задание псевдосферы и вычисление производных радиуса-вектора...... 187 XI. 2 Нахождение матрицы первой квадратичной формы псевдосферы...... 188 XI. 3 Вычисление символов Кристоффеля псевдосферы...... 189 XI. 4 Приведение уравнений геодезических к нормальной системе ОДУ...... 191 XI. 5 Ввод группы начальных условий...... 192 XI. 6 Изображение верхней половины псевдосферы и линий начальных условий...... 193 XI. 7 Процедуры численного интегрирования нормальной системы ОДУ...... 194 Литература...... 201

Издательство: "Казанский университет" (2013)

Другие книги схожей тематики:

АвторКнигаОписаниеГодЦенаТип книги
Топоногов В.А.Дифференциальная геометрия кривых и поверхностейАвтор книги В. А. Топоногов более 40 лет вел активную педагогическую деятельность в Новосибирском… — Физматкнига, - Подробнее...2012
624бумажная книга
В. А. ТопоноговДифференциальная геометрия кривых и поверхностейАвтор книги В. А. Топоногов более 40 лет вел активную педагогическую деятельность в Новосибирском… — Физматкнига, (формат: 60x88/16, 224 стр.) Подробнее...2012
807бумажная книга

См. также в других словарях:

  • Дифференциальная геометрия и топология — Дифференциальная геометрия и дифференциальная топология  два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия (обычно с дополнительными структурами). Эти два раздела математики почти неразделимы, при этом часто оба раздела… …   Википедия

  • Дифференциальная геометрия — и дифференциальная топология  два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия (обычно с дополнительными структурами). Эти два раздела математики почти неразделимы. Они находят множество применений в физике, особенно в общей… …   Википедия

  • Дифференциальная геометрия —         раздел геометрии, в котором геометрические образы изучаются методами математического анализа. Главными объектами Д. г. являются произвольные достаточно гладкие кривые (линии) и поверхности евклидова пространства, а также семейства линий и …   Большая советская энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, в к ром изучаются геометрич. образы, в первую очередь кривые и поверхности, методами математич. анализа. Обычно в Д. г. изучаются свойства кривых и поверхностей в малом, т. е. свойства сколь угодно малых их кусков. Кроме того, в …   Математическая энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, в котором свойства кривых, поверхностей и других геометрических многообразий изучаются методами математического анализа, в первую очередь дифференциального исчисления. Работы по дифференциальной геометрии К. Гаусса (1777 1855),… …   Энциклопедия Кольера

  • АФФИННАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, изучающий дифференциально геометрич. свойства кривых и поверхностей, сохраняющиеся при преобразованиях аффинной группы или ее подгрупп. Наиболее полно изучена дифференциальная геометрия эквиаффинного пространства. В эквиаффинной …   Математическая энциклопедия

Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»