Книга: Куликова Е. В. «Высшая математика для горных вузов»

Изложены следующие разделы: матрицы, определители, системы линейных уравнений, аналитическая геометрия. Приведены вопросы для самопроверки и набор задач для самостоятельной работы. Прилагаются пять контрольных работ по 30 вариантов.
Е. В. Куликова — канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры Высшей математики Московского государственного горного университета.
Для студентов горных специальностей направления подготовки дипломированных специалистов «Горное дело».

Содержание:

ПРЕДИСЛОВИЕ...... 5 Глава 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ...... 7 1. 1. Матрицы...... 9 1. 2. Линейные операции над матрицами...... 11 1. 3. Умножение матриц...... 12 1. 4. Определители второго порядка...... 19 1. 5. Определители третьего порядка...... 22 1. 6. Свойства определителей третьего порядка...... 23 1. 7. Разложение определителя по строке или столбцу...... 30 1. 8. Определители n-го порядка...... 34 1. 9. Обратная матрица...... 39 1. 10. Ранг матрицы. Базисный минор...... 47 1. 11. Теорема о базисном миноре...... 48 1. 12. Способы нахождения ранга матрицы...... 52 Вопросы для самопроверки...... 59 Глава 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ...... 61 2. 1. Системы линейных уравнений. Основные понятия...... 63 2. 2. Матричный метод решения систем линейных уравнений...... 65 2. 3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера...... 69 2. 4. Теорема Кронекера-Капелли...... 72 2. 5. Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса...... 78 2. 6. Замечания к формулам Крамера...... 88 2. 7. Системы линейных однородных уравнений...... 94 Вопросы для самопроверки...... 101 Глава 3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА...... 103 3. 1. Векторы. Основные определения...... 105 3. 2. Линейные операции над векторами. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов...... 106 3. 3. Свойства линейных операций над векторами...... 112 3. 4. Линейная зависимость и линейная независимость векторов...... 118 3. 5. Понятие базиса. Разложение вектора по базису. Координаты вектора...... 123 3. 6. Проекция вектора на ось. Свойства проекций...... 129 3. 7. Декартова прямоугольная система координат...... 133 3. 8. Некоторые задачи векторной алгебры...... 137 3. 9. Скалярное произведение двух векторов...... 148 3. 10. Векторное произведение двух векторов...... 157 3. 11. Смешанное произведение трех векторов...... 166 Вопросы для самопроверки...... 179 Глава 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ...... 183 4. 1. Уравнение линии на плоскости...... 185 4. 2. Уравнение прямой с нормальным вектором...... 194 4. 3. Общий вид уравнения прямой...... 194 4. 4. Неполные уравнения прямой...... 195 4. 5. Уравнение прямой с направляющим вектором...... 196 4. 6. Параметрические уравнения прямой...... 197 4. 7. Уравнение прямой, проходящей через две точки...... 198 4. 8. Уравнение прямой в отрезках, отсекаемых на осях координат...... 198 4. 9. Уравнение прямой с угловым коэффициентом...... 199 4. 10. Некоторые задачи на прямую на плоскости...... 209 4. 11. Расстояние от точки до прямой...... 213 4. 12. Уравнения биссектрис углов, образованных двумя прямыми...... 216 4. 13. Взаимное расположение точек и прямых на плоскости...... 229 4. 14. Уравнение пучка прямых...... 235 Вопросы для самопроверки...... 244 Глава 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА...... 247 5. 1*. Канонические уравнения эллипса...... 249 5. 2. Исследование формы эллипса...... 252 5. 3*. Параметрические уравнения эллипса...... 254 5. 4*. Каноническое уравнение гиперболы...... 256 5. 5. Исследование формы гиперболы...... 260 5. 6*. Параметрические уравнения гиперболы...... 265 5. 7*. Каноническое уравнение параболы...... 265 5. 8. Исследование формы параболы...... 268 5. 9*. Эксцентриситет и директрисы эллипса, гиперболы, параболы...... 270 5. 10*. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы...... 276 5. 11. Общее уравнение линии второго порядка...... 281 5. 12. Преобразование декартовых координат на плоскости...... 286 5. 13. Приведение к каноническому виду уравнений линий второго порядка...... 290 5. 14. Ортогональные инварианты общего уравнения линии второго порядка...... 305 5. 15. Графики обратной пропорциональной зависимости и квадратного трехчлена...... 307 5. 16 Уравнения линий второго порядка, содержащие квадратный корень...... 310 Вопросы для самопроверки...... 316 Глава 6. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ...... 319 6. 1. Уравнения поверхности и линии в пространстве...... 321 6. 2. Цилиндрические поверхности...... 325 6. 3. Цилиндрические и сферические координаты...... 328 6. 4. Уравнение плоскости с нормальным вектором...... 331 6. 5. Общий вид уравнения плоскости...... 332 6. 6. Неполные уравнения плоскости...... 336 6. 7. Уравнение плоскости в отрезках, отсекаемых на осях координат...... 340 6. 8. Уравнение плоскости, проходящей через три точки...... 344 6. 9. Угол между двумя плоскостями...... 347 6. 10. Расстояние от точки до плоскости...... 351 6. 11. Взаимное расположение точек и плоскостей в пространстве...... 356 6. 12 Уравнения биссектральных плоскостей двугранных углов, образованных двумя плоскостями...... 358 6. 13. Пучки и связки плоскостей...... 360 6. 14. Прямая в пространстве. Общие и канонические уравнения прямой...... 362 6. 15. Параметрические уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой, проходящей через две точки...... 366 6. 16. Взаимное расположение двух прямых в пространстве...... 369 6. 17. Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве...... 374 6. 18. Некоторые задачи на плоскость и прямую в пространстве...... 378 Вопросы для самопроверки...... 401 Глава 7. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА...... 403 7. 1. Эллипсоид...... 405 7. 2. Однополостный гиперболоид...... 408 7. 3. Двуполостный гиперболоид...... 410 7. 4. Конус второго порядка...... 412 7. 5. Эллиптический параболоид...... 414 7. 6. Гиперболический параболоид...... 416 7. 7. Цилиндры второго порядка...... 418 7. 8. Поверхности вращения...... 419 7. 9. Некоторые задачи на поверхности второго порядка...... 422 Вопросы для самопроверки...... 431 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ...... 433 Задачи для самостоятельной работы...... 435 Контрольная работа № 1...... 459 Контрольная работа № 2...... 474 Контрольная работа № 3...... 482 Контрольная работа № 4...... 488 Контрольная работа № 5...... 492

Издательство: "Горная книга" (2012)

ISBN: 5741804217