Книга: Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В., Шандра И. Г. «Математика в экономике»

В части 1 изложены вопросы линейной алгебры и линейного программирования, часть 2 посвящена математическому анализу функций одной и нескольких переменных, выпуклому анализу, рядам и дифференциальным управнениям. В отличие от второго издания (2003 г.) в новом выпуске учебни¬ка уточнены некоторые формулировки.
Для преподавателей и студентов экономических вузов, бизнес-школ, а также для всех, кто интересуется математическими приложениями в эко¬номике.

Содержание:

Предисловие...... 10 1. Введение в анализ...... 11 § 1. 1. Понятие функции. Числовые функции и графики. Обратная и сложная функции...... 11 § 1. 2. Предел числовой последовательности...... 18 1. Определения. Примеры (18). 2. Основные свойства пределов последовательностей (20). 3. Общие правила нахождения пределов (22). 4. Монотонные последовательности и их пределы (23). 5. Бесконечные пределы (24). § 1. 3. Число e...... 25 § 1. 4. Предел функции...... 27 1. Определение и примеры (27). 2. Основные свойства пределов функции (28). 3. Общие правила нахождения пределов функций (30). 4. Более общий подход к понятию предела функции (31). 5. Предел при x —» <ю или x —» —ю. Бесконечный предел (32). § 1. 5. Два замечательных предела...... 33 § 1. 6. Формула непрерывных процентов...... 36 § 1. 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции...... 38 § 1. 8. Непрерывность функции...... 39 1. Непрерывность функции в точке (39). 2. Арифметические операции над непрерывными функциями (42). 3. Постоянство знака непрерывной функции (43). 4. Расширение понятия непрерывности функции в точке (44). § 1. 9. Теорема о стягивающихся отрезках. Точные границы числового множества 45 § 1. 10. Свойства функций, непрерывных на отрезке...... 48 1. Теорема о существовании корня (49). 2. Теорема о промежуточном значении (50). 3. Ограниченность непрерывной функции (50). 4. Достижение крайних значений (51). 5. Множество значений непрерывной функции (52). 6. Равномерная непрерывность (53). § 1. 11. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций...... 53 § 1. 12. Паутинные модели рынка...... 56 § 1. 13. Функции нескольких переменных...... 59 1. Определение функции нескольких переменных. Линии и поверхности уровня (59). 2. Элементарные функции нескольких переменных (61). § 1. 14. Сходимость точек в М". Открытые и замкнутые множества. Предел и непрерывность для функций нескольких переменных...... 62 1. Расстояние между точками в Ж" (62). 2. Сходимость точек в Ж" (63). 3. Открытые и замкнутые множества в Ж" (66). 4. Предельные точки множества. Изолированные точки (67). 5. Предел и непрерывность функций нескольких переменных (68). § 1. 15. Свойства непрерывных функций на ограниченных замкнутых множествах...... 70 § 1. 16. Множества, заданные с помощью неравенств...... 73 Приложения к главе 1...... 74 Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной...... 79 § 2. 1. Производная функции в точке...... 79 1. Определение производной (79). 2. Физический смысл производной (81). 3. Геометрический смысл производной (81). 4. Уравнение касательной (83). 5. Односторонние производные (84). § 2. 2. Дифференцируемость и непрерывность...... 85 § 2. 3. Правила дифференцирования...... 87 § 2. 4. Производные элементарных функций...... 91 1. Производная логарифмической функции (92). 2. Производная показательной функции (93). 3. Производная степенной функции (93). 4. Производные тригонометрических функций (94). 5. Производные обратных тригонометрических функций (95). § 2. 5. Дифференциал и приближенные вычисления...... 97 § 2. 6. Предельные величины в экономике...... 100 § 2. 7. Логарифмическая производная...... 102 § 2. 8. Эластичность и ее свойства...... 106 1. Геометрический смысл эластичности (111). 2. Ценовая эластичность спроса (113). § 2. 9. Распределение налогового бремени...... 115 § 2. 10. Теоремы о промежуточных значениях...... 118 § 2. 11. Правило Лопиталя...... 122 § 2. 12. Цены, предельные издержки и объем производства...... 126 § 2. 13. Высшие производные...... 130 1. Производная порядка n степенной функции (130). 2. Производная порядка n показательной функции (131). 3. Производные порядка n функций sin x, cos x (132). 4. Производная порядка n функции y = ln x (132). § 2. 14. Применение производных к исследованию функций...... 132 1. Возрастание и убывание функции (132). 2. Экстремум функции (135). 3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (138). 4. Оценка числа корней уравнения (140). § 2. 15. Функция предложения конкурентной фирмы...... 142 § 2. 16. Выпуклые функции...... 148 § 2. 17. Неравенство Иенсенаи средние величины...... 159 § 2. 18. Формула Тейлора...... 164 Глава 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных...... 171 § 3. 1. Частные производные...... 171 § 3. 2. Полный дифференциал и дифференцируемость функции...... 174 § 3. 3. Достаточные условия дифференцируемое™...... 177 § 3. 4. Дифференцируемость сложной функции...... 180 § 3. 5. Производная по направлению. Градиент...... 182 § 3. 6. Касательные прямые и плоскости...... 187 § 3. 7. Предельная полезность и предельная норма замещения...... 191 § 3. 8. Эластичность функции нескольких переменных...... 193 § 3. 9. Однородные функции. Формула Эйлера...... 197 § 3. 10. Частные производные высших порядков...... 199 § 3. 11. Формула Тейлора для функций нескольких переменных 202 § 3. 12. Локальный экстремум функции нескольких переменных...... 208 1. Необходимые условия первого порядка (208). 2. Необходимые условия второго порядка (210). 3. Достаточные условия существования локального экстремума (212). 4. Экономические приложения (215). § 3. 13. Условный экстремум...... 217 § 3. 14. Выпуклые функции нескольких переменных...... 224 § 3. 15. Квадратичные формы и выпуклые функции...... 233 § 3. 16. Экстремумы и стационарные точки выпуклых функций...... 236 1. Глобальные и локальные экстремумы (236). 2. Стационарные точки и глобальные экстремумы (237). 3. Бдинственность экстремума выпуклой функции (238). § 3. 17. Теорема Куна - Таккера...... 240 1. Постановка задачи выпуклого программирования (241). 2. Необходимое условие экстремума (243). 3. Достаточное условие экстремума (247). 4. Включение уравнений в систему ограничений (253). 5. Связь с седловыми точками (257). § 3. 18. Функции спроса...... 259 § 3. 19. Уравнения Слуцкого...... 262 Глава 4. Определенный интеграл и его приложения...... 275 § 4. 1. Неопределенный интеграл и его свойства...... 275 1. Первообразная и неопределенный интеграл (275). 2. Свойства неопределенного интеграла (277). 3. Таблица основных интегралов (279). § 4. 2. Методы интегрирования...... 281 1. Интегрирование методом замены переменной (281). 2. Метод интегрирования по частям (284). § 4. 3. Интегрирование некоторых классов функций...... 287 1. Интегрирование рациональных функций (287). 2. Интегрирование тригонометрических функций (292). 3. Использование справочников и математических процессоров. Неберущиеся интегралы (294). § 4. 4. Определенный интеграл...... 295 1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции (295). 2. Понятие определенного интеграла (299). 3. Интегрируемость непрерывной функции (304). 4. Аддитивность определенного интеграла (305). 5. Теорема о среднем для определенного интеграла (307). § 4. 5. Формула Ньютона - Лейбница...... 308 1. Интеграл с переменным верхним пределом (308). 2. Формула Ньютона - Лейбница (311). 3. Свойства определенного интеграла (313). 4. Интегрирование по частям в определенном интеграле (315). 5. Замена переменной в определенном интеграле (316). § 4. 6. Приложения определенного интеграла...... 318 1. Вычисление площадей плоских фигур (318). 2. Вычисление объема тела вращения (321). 3. Экономические приложения определенного интеграла (324). § 4. 7. Несобственные интегралы...... 328 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (328). 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (331). 3. Признаки сходимости несобственных интегралов (334). § 4. 8. Приближенное вычисление определенных интегралов...... 338 1. Формула прямоугольников (339). 2. Формула Симпсона (341). Глава 5. Числовые и степенные ряды...... 345 § 5. 1. Понятие числового ряда...... 345 1. Основные определения (345). 2. Свойства сходящихся рядов (348). 3. Необходимый признак сходимости ряда (350). § 5. 2. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости...... 352 1. Критерий сходимости (352). 2. Достаточные признаки сходимости (352). 3. Оценка остатка ряда (360). § 5. 3. Знакопеременные ряды...... 362 1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница (362). 2. Ряды с членами произвольного знака. Плюс- и минус-ряды для данного ряда (364). 3. Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства (365). 4. Условно сходящиеся ряды (366). § 5. 4. Степенные ряды...... 368 1. Степенной ряд. Теорема Абеля (368). 2. Область сходимости степенного ряда (370). 3. Отыскание радиуса сходимости степенного ряда (371). 4. Свойства степенных рядов (373). § 5. 5. Разложение функций в степенные ряды...... 374 1. Ряд Маклорена (374). 2. Достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена (376). 3. Разложение функции ex (377). 4. Разложение функций sin x и cos x (378). 5. Разложение функций ln(1 x) и arctg x (379). 6. Разложение функции (1 x)° (380). § 5. 6. Степенные ряды с произвольным центром...... 382 1. Интервал сходимости (382). 2. Ряд Тейлора (383). § 5. 7. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям...... 384 1. Вычисление значений показательной функции (384). 2. Вычисление значений логарифмической функции (386). 3. Вычисление значений синуса и косинуса (387). 4. Приближенное нахождение интегралов (388). § 5. 8. Ряды из матриц...... 390 1. Последовательности из матриц (390). 2. Ряды из матриц. Определения и примеры (392). 3. Степенные матричные ряды (393). Глава 6. Кратные интегралы...... 396 § 6. 1. Двойной интеграл и его свойства...... 396 1. Определение двойного интеграла (396). 2. Геометрический смысл двойного интеграла (399). 3. Свойства двойного интеграла (401). § 6. 2. Для каких функций существует двойной интеграл?...... 406 § 6. 3. Сведение двойного интеграла к повторному...... 409 § 6. 4. Другой подход к понятию двойного интеграла...... 413 § 6. 5. Замена переменных в двойном интеграле...... 414 1. Предварительная формула замены переменных (415). 2. Вычисление r(Q). (417). 3. Окончательный вид формулы замены переменной в кратном интеграле (419). § 6. 6. Тройной интеграл...... 421 § 6. 7. Несобственные кратные интегралы...... 425 Глава 7. Дифференциальные уравнения...... 435 § 7. 1. Общие понятия и примеры...... 435 § 7. 2. Дифференциальные уравнения первого порядка...... 437 § 7. 3. Уравнения с разделяющимися переменными. Автономные уравнения...... 443 § 7. 4. Математические модели экономической динамики с непрерывным временем...... 448 1. Модель естественного роста (рост при постоянном темпе) (449). 2. Логистический рост (451). 3. Неоклассическая модель роста (456). § 7. 5. Однородные уравнения...... 459 § 7. 6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка...... 464 § 7. 7. Уравнения Бернулли и Риккати...... 470 § 7. 8. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель...... 475 § 7. 9. Дифференциальные уравнения высших порядков...... 479 1. Общие сведения (479). 2. Уравнения, допускающие понижение порядка (480). § 7. 10. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков...... 484 § 7. 11. Линейные однородные уравнения. Фундаментальный набор решений...... 488 § 7. 12. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами...... 492 1. Линейные однородные уравнения (492). 2. Линейные неоднородные уравнения (498). § 7. 13. Системы дифференциальных уравнений...... 507 § 7. 14. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка...... 509 1. Общие сведения о линейных системах (509). 2. Метод сведения линейной системы к одному уравнению более высокого порядка (511). § 7. 15. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами...... 513 1. Однородные линейные системы (513). 2. Неоднородные линейные системы (529). § 7. 16. Разностные уравнения...... 535 1. Общие понятия и примеры (535). 2. Линейные разностные уравнения (537). § 7. 17. Модели экономической динамики с дискретным временем...... 544 1. Модель Самуэльсона-Хикса (544). 2. Паутинная модель рынка (546). 3. Задача об определении текущей стоимости купонной облигации (547). Рекомендуемая литература...... 550 Предметный указатель...... 551

Издательство: "Финансы и статистика" (2013)

ISBN: 9785279034895