Книга: Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В., Шандра И. Г. «Математика в экономике»

Изложены темы: арифметические векторы и системы линейных уравнений, матрицы и определители, линейные экономические модели, элементы аналитической геометрии, метод наименьших квадратов выпуклые множества, линейное программирование, двойственность. В отличие от 2-го издания (2003 г.) добавлена глава «Комплексные числа», переработана глава о линейных преобразованиях и квадратичных формах, расширены главы, посвященные элементам аналитическолй геометрии и вопросам линейного программирования и др.
Для преподавателей и студентов экономических вузов, бизнес-школ, а также для всех, кто интересуется математическими приложениями в экономике.

Содержание:

Предисловие...... 7 Глава 1. Линейные пространства и системы линейных уравнений...... 9 § 1. 1. Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса...... 9 1. Основные понятия (9). 2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (11). 3. Однородные системы линейных уравнений (16). § 1. 2. Линейные пространства...... 17 1. Арифметические векторы и действия над ними. Пространство R" (17). 2. Линейные пространства общего вида (20). 3. Подпространство линейного пространства (22). § 1. 3. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов...... 23 1. Системы векторов в линейном пространстве (23). 2. Линейная зависимость векторов и ее свойства (25). 3. Линейно зависимые и линейно независимые системы в пространстве R" (28). 4. Линейно зависимые и линейно независимые системы в пространстве М 3 (32). § 1. 4. Базис и размерность линейного пространства...... 33 1. Базис и размерность линейного пространства (33). 2. Ранг и базис системы векторов (38). § 1. 5. Евклидовы пространства...... 40 1. Основные понятия и примеры (40). 2. Неравенство Коши - Буняковского (43). 3. Ортогональные системы векторов (45). 4. Ортонормированные системы векторов (48). 5. Ортогональное дополнение подпространства (50). Глава 2. Матрицы и определители...... 52 § 2. 1. Матрицы и операции над ними...... 52 1. Основные понятия и определения (52). 2. Операции над матрицами (54). § 2. 2. Матрицы и системы линейных уравнений...... 62 1. Матричная запись систем линейных уравнений (62). 2. Ранг матрицы и элементарные преобразования (63). 3. Пространство решений однородной системы уравнений (65). 4. Неоднородные линейные системы и подпространства в R" (70). § 2. 3. Определители...... 71 1. Определители второго и третьего порядка (71). 2. Миноры и алгебраические дополнения (73). 3. Определитель матрицы n-ro порядка (75). 4. Свойства определителей (77). 5. Практический способ вычисления определителей (81). § 2. 4. Обратная матрица...... 83 1. Определение обратной матрицы (83). 2. Невырожденные матрицы (84). 3. Первый способ нахождения обратной матрицы (87). 4. Необходимое и достаточное условие невырожденности матрицы (89). 5. Второй способ нахождения обратной матрицы (91). 6. Решение системы n х n с помощью обратной матрицы (93). 7. Правило Крамера для системы n х n (94). § 2. 5. Преобразование координат вектора при замене базиса...... 97 Глава 3. Комплексные числа...... 102 § 3. 1. Алгебраическая форма комплексного числа...... 102 1. Определение комплексного числа (102). 2. Операции над комплексными числами (103). § 3. 2. Тригонометрическая форма комплексного числа...... 106 1. Геометрическое изображение комплексных чисел (106). 2. Модуль и аргумент комплексного числа (107). 3. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме (109). § 3. 3. Многочлены в комплексной области...... 113 1. Теорема о существовании корня (113). 2. Разложение многочлена с комплексными коэффициентами на линейные множители (113). 3. Сумма кратностей всех корней многочлена (115). 4. Многочлены с действительными коэффициентами (116). Глава 4. Линейные преобразования и квадратичные формы...... 119 § 4. 1. Линейные преобразования и матрицы...... 119 1. Определение линейного преобразования. Примеры (119). 2. Матрица линейного преобразования (121). 3. Изменение матрицы линейного преобразования при переходе к новому базису (124). § 4. 2. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования...... 126 1. Модель международной торговли (126). 2. Определения и примеры (128). 3. Характеристическое уравнение (131). § 4. 3. Симметрические линейные преобразования...... 134 1. Основные определения (134). 2. Собственные векторы и собственные значения симметрического линейного преобразования (135). § 4. 4. Квадратичные формы...... 139 1. Основные определения (139). 2. Преобразование квадратичной формы при замене переменных (140). 3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду (142). 4. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду (144). 5. Закон инерции квадратичных форм (149). 6. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра (151). Глава 5. Неотрицательные матрицы и линейные экономические модели...... 156 § 5. 1. Собственные векторы неотрицательных матриц...... 156 § 5. 2. Балансовые модели...... 161 1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (161). 2. Продуктивные модели Леонтьева (165). 3. Вектор полных затрат (173). 4. Модель равновесных цен (175). § 5. 3. Дополнение к модели международной торговли...... 177 Глава 6. Элементы аналитической геометрии...... 181 § 6. 1. Точечные пространства...... 181 § 6. 2. Координаты в конечномерном точечном пространстве...... 184 § 6. 3. Прямая в n-мерном пространстве. Отрезок...... 187 § 6. 4. Различные виды плоскостей в n-мерном пространстве...... 188 § 6. 5. Геометрические объекты на плоскости и в пространстве...... 191 § 6. 6. Точечные евклидовы пространства...... 195 § 6. 7. Расстояние от точки до гиперплоскости...... 199 § 6. 8. Выпуклые множества. Полупространство как выпуклое множество...... 202 § 6. 9. Угловые точки выпуклых многогранных областей...... 205 § 6. 10. Выпуклая оболочка системы точек...... 209 § 6. 11. Кривые второго порядка...... 214 1. Эллипс (214). 2. Гипербола (219). 3. Парабола (223). 4. Общее уравнение кривой второго порядка (225). § 6. 12. Поверхности второго порядка...... 228 1. Эллипсоид (229). 2. Другие типы поверхностей второго порядка (231). Глава 7. Введение в линейное программирование...... 236 § 7. 1. Общая задача оптимизации. Линейное программирование. Основные задачи...... 236 § 7. 2. Геометрия задачи линейного программирования...... 247 § 7. 3. Примеры решения задач и линейного программирования путем последовательного исключения неизвестных...... 258 § 7. 4. Строение множества оптимальных решений...... 264 § 7. 5. Графический метод решения задачи линейного программирования при малом числе переменных...... 268 Глава 8. Решение общей задачи линейного программирования...... 275 § 8. 1. Симплекс-метод...... 275 § 8. 2. Симплекс-таблицы...... 284 § 8. 3. Работа с целевой функцией...... 289 § 8. 4. Метод искусственного базиса. Двухфазный симплекс-метод...... 293 § 8. 5. Теорема о конечности симплекс-алгоритма...... 304 Глава 9. Теория двойственности...... 312 § 9. 1. Взаимно двойственные задачи линейного программирования...... 312 1. Постановка взаимно двойственных задач (312). 2. Основное неравенство для двойственных задач (317). § 9. 2. Дополнительные сведения о системах линейных неравенств...... 319 § 9. 3. Теоремы о следствиях системы неравенств...... 322 § 9. 4. Основная теорема двойственности и ее следствия...... 326 § 9. 5. Применение двойственности в однопродуктовой задаче...... 334 § 9. 6. Другое доказательство основной теоремы двойственности. Метод одновременного решения пары двойственных задач...... 341 § 9. 7. Несимметричные двойственные задачи...... 347 Глава 10. Метод наименьших квадратов и его приложения...... 351 § 10. 1. Метод наименьших квадратов...... 351 § 10. 2. Применение метода наименьших квадратов...... 356 § 10. 3. Случай линейной зависимости между переменными...... 362 Приложение. Основная теорема алгебры и разложение на простейшие дроби...... 368 Рекомендуемая литература...... 375 Предметный указатель...... 376

Издательство: "Финансы и статистика" (2013)

ISBN: 9785279034888