Книга: Монсик В. Б., Скрынников А. А. «Вероятность и статистика»

 В учебном пособии рассмотрены теоретические основы и прикладные методы теории вероятностейи математической статистики. Оно обеспечивает годовойк урс изучения дисциплины «Теория вероятностей
и математическая статистика» и может быть использовано как студентами инженерных специальностейв узов, так и их преподавателями. Теоретические положения иллюстрируются большим количеством рисунков,
интересных числовых примеров и задач прикладнойна правленности, для решения которых в приложении приводятся необходимые вероятностностатистические таблицы.
 Для студентов инженерных специальностей вузов.

Содержание:

Предисловие...... 3 Введение...... 4 РАЗДЕЛ 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ...... 9 Глава 1. Основные понятия теории вероятностей...... 9 1. 1. Опыт и событие...... 9 Операция умножения событий...... 13 Операция сложения событий...... 14 Операция вычитания событий...... 15 Операция дополнения...... 16 1. 2. Частота и вероятность события...... 16 1. 3. Геометрическая вероятность...... 21 1. 4. Условные частота и вероятность события...... 24 1. 5. Зависимые и независимые события...... 27 Глава 2. Комбинаторика в вероятностных задачах...... 29 2. 1. Комбинаторный характер вероятностных задач...... 29 2. 2. Выборка из множеств элементов...... 30 2. 3. Упорядоченные выборки (размещения)...... 30 Общие правила подсчета числа размещений...... 30 Размещения с повторениями...... 35 Размещения без повторений...... 36 Перестановки без повторений...... 36 Перестановки с повторениями...... 39 2. 4. Неупорядоченные выборки (сочетания)...... 40 Сочетания без повторений...... 40 Свойства сочетаний...... 41 Сочетания с повторениями...... 45 2. 5. Бином Ньютона...... 46 Биномиальная теорема...... 46 Свойства биноминальных коэффициентов...... 47 2. 6. Примеры решения вероятностных задач комбинаторными методами...... 49 Глава 3. Основные теоремы и формулы теории вероятностей...... 53 3. 1. Теоремы умножения частот и вероятностей...... 53 3. 2. Теоремы сложения частот и вероятностей...... 56 3. 3. Следствия теоремы сложения...... 59 3. 4. Вероятность появления события хотя бы один раз в нескольких независимых опытах...... 61 3. 5. Формула полной вероятности...... 63 3. 6. Формула Бейеса (теорема гипотез)...... 66 3. 7. Повторение опытов...... 70 3. 8. Аксиоматическое определение вероятности...... 75 Глава 4. Случайные величины...... 80 4. 1. Понятие случайной величины...... 80 4. 2. Закон распределения случайной величины...... 82 Ряд распределения...... 83 Функция распределения...... 84 Плотность вероятности...... 88 4. 3. Моменты и числовые характеристики случайной величины...... 90 Математическое ожидание случайной величины...... 91 Дисперсия случайной величины...... 93 Моменты случайных величин...... 94 Глава 5. Основные законы распределения случайных величин...... 101 5. 1. Биномиальное распределение...... 101 5. 2. Производящая функция...... 104 5. 3. Распределение Пуассона...... 105 5. 4. Пуассоновский поток и поле точек...... 109 5. 5. Геометрическое распределение...... 115 5. 6. Показательное распределение...... 117 5. 7. Равномерное распределение...... 123 5. 8. Нормальное распределение...... 127 5. 9. Табличные функции нормального распределения...... 132 5. 10. Вероятность попадания нормальной случайной величины на отрезок...... 135 5. 11. Локальная и интегральная теоремы Муавра—Лапласа...... 139 Глава 6. Основные законы распределения, используемые в математической статистике...... 143 6. 1. Общие положения использования законов распределения в математической статистике...... 143 6. 2. Х 2-распределение...... 144 6. 3. Х-распределение...... 146 6. 4. Распределение Стьюдента...... 147 6. 5. Распределение Фишера—Снедекора...... 149 6. 6. Логарифмически нормальное распределение...... 151 6. 7. Распределение Колмогорова...... 152 Глава 7. Случайный вектор...... 153 7. 1. Понятие случайного вектора...... 153 7. 2. Законы распределения двумерного случайного вектора...... 155 7. 3. Числовые характеристики двумерного случайного вектора...... 163 7. 4. Условные законы распределения и числовые характеристики случайных величин...... 168 7. 5. Зависимые и независимые случайные величины...... 174 7. 6. Законы распределения многомерного случайного вектора...... 176 7. 7. Моменты и числовые характеристики многомерного случайного вектора...... 180 Глава 8. Некоторые законы распределения случайных векторов...... 185 8. 1. Полиномиальное распределение случайного вектора...... 185 8. 2. Нормальное распределение случайного вектора...... 187 8. 3. Вероятность попадания двумерного нормального случайного вектора в плоские фигуры...... 191 8. 4. Закон распределения Релея...... 196 Глава 9. Функции случайных аргументов...... 199 9. 1. Математическое ожидание и дисперсия функции случайных аргументов...... 199 9. 2. Теоремы о числовых характеристиках функций случайных аргументов...... 207 9. 3. Применение теорем о числовых характеристиках...... 214 9. 4. Линеаризация нелинейных функций случайных аргументов...... 218 Линеаризация функции одного случайного аргумента...... 219 Уточнение результатов, полученных методом линеаризации...... 221 Линеаризация функции нескольких случайных аргументов...... 223 9. 5. Характеристики комплексных случайных величин...... 226 9. 6. Характеристическая функция случайной величины...... 228 Глава 10. Предельные теоремы теории вероятностей...... 231 10. 1. Закон больших чисел...... 231 Неравенство Чебышева...... 232 Первая теорема Чебышева...... 235 Теорема Бернулли (следствие первой теоремы Чебышева)...... 236 Вторая теорема Чебышева...... 237 Теорема Пуассона (следствие второй теоремы Чебышева)...... 239 Теорема Маркова...... 241 10. 2. Центральная предельная теорема...... 243 РАЗДЕЛ 2. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ...... 249 Глава 11. Основные понятия математической статистики...... 249 11. 1. Предмет и задачи математической статистики...... 249 11. 2. Представление статистических данных и оценивание закона распределения генеральной совокупности...... 253 Глава 12. Задача оценивания параметров распределений по результатам наблюдений...... 261 12. 1. Оценки параметров распределений и их свойства...... 261 12. 2. Методы получения оценок параметров распределений...... 266 Глава 13. Статистическое оценивание неизвестных параметров распределений...... 269 13. 1. Оценка вероятности случайного события...... 269 Нормально распределенная оценка вероятности...... 269 Геометрическая интерпретация доверительного интервала оценки вероятности...... 273 13. 2. Оценка математического ожидания случайного параметра...... 275 Оценка математического ожидания при известной точности измерений (дисперсии)...... 275 Оценка математического ожидания при неизвестной точности измерений (дисперсии)...... 278 13. 3. Оценка дисперсии случайного параметра...... 281 Несмещенная (исправленная) оценка дисперсии...... 281 Оценка дисперсии при известном математическом ожидании (среднем)...... 282 Оценка дисперсии при неизвестном математическом ожидании (среднем)...... 287 Нормальная оценка дисперсии при большом числе испытаний...... 289 13. 4. Оценка корреляционного момента и коэффициента корреляции...... 292 Глава 14. Статистическая проверка гипотез...... 297 14. 1. Введение в статистическую проверку гипотез...... 297 14. 2. Общая процедура статистической проверки гипотез...... 298 14. 3. Ошибки, допускаемые при статистической проверке гипотез...... 302 14. 4. Средний риск. Вероятность ошибочного решения...... 305 14. 5. Методы статистических решений...... 307 Критерий минимума вероятности ошибочного решения...... 309 Критерий минимального риска...... 310 Метод Неймана—Пирсона...... 311 Метод минимакса...... 313 Метод наибольшего правдоподобия...... 316 Последовательный критерий отношения правдоподобия...... 316 Глава 15. Практические методы статистической проверки гипотез...... 319 15. 1. Проверка непараметрических гипотез...... 319 Критерий Колмогорова...... 320 Критерий Х-квадрат Пирсона...... 325 15. 2. Проверка параметрических гипотез...... 329 Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей...... 329 Сравнение математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей...... 337 Сравнение математических ожиданий при неизвестных, но равных дисперсиях...... 337 Сравнение математических ожиданий при известных дисперсиях...... 343 Приложения...... 349 1. Таблица значений функции у = exp{-х}...... 349 2. Таблица значений нормированной нормальной плотности вероятности f(u)...... 350 3. Таблица значений нормированной нормальной функции распределения F(u)...... 352 4. Таблица значений нормального интеграла вероятности (функция Лапласа—Гаусса) F0(u)...... 354 5. Таблица процентных точек T-распределения Стьюдента...... 356 6. Таблица процентных точек X-распределения...... 358 7. Таблица процентных точек F-распределения Фишера-Снедекора...... 364 8. Таблица критических значений для наибольшего отклонения эмпирического распределения от теоретического (критерий Колмогорова)...... 368 9. Таблица факториалов n...... 371 10. Таблица значений вероятностей P(m, a) (распределения Пуассона)...... 372 11. Таблица значений пуассоновских сумм...... 373 12. Таблица биномиальных коэффициентов Cmn (арифметический треугольник)...... 375 Список литературы...... 376

Издательство: "БИНОМ. Лаборатория знаний" (2015)

ISBN: 9785996329762